设函数 f(z) 在区域 D 内解析，则与 f(z) equiv 常数等价的命题是()A. operatorname(Re) f(z) equiv operatorname(Im) f(z) equiv 常数.B. |f(z)| = 常数.C. overline(f(z)) 解析.D. f'(z) equiv 0.

本题考查函数解析与函数为常数的等价命题相关知识。解题思路是分别分析每个选项与函数为常数的关系。

选项A

若$\operatorname{Re} f(z) \equiv \operatorname{Im} f(z) \equiv$常数，设$f(z)=u + iv$，$\operatorname{Re} f(z)=u$，$\operatorname{Im} f(z)=v$，则$u = v=$常数，那么$f(z)$可表示为$f(z)=a+bi$（$a,b$为常数），即$f(z)$为常数，所以选项A正确。

选项B

若$\vert f(z)\vert=$常数，设$f(z)=u + iv$，$\vert f(z)\vert=\sqrt{u^{2}+v^{2}}$，$\vert f(z)\vert = C$（$C$为常数），只能说明$u^{2}+v^{2}=C^{2}$，不能得出$u$和$v$都为常数，也就不能得出$f(z)$为常数，所以选项B错误。

选项C

若$\overline{f(z)}$解析，设$f(z)=u + iv$，$\overline{f(z)}=u - iv$，因为$f(z)$解析，则$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\{\partial v}{\partial y}$，$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$，$\overline{f(z)}$解析也满足一定条件，当$f(z)$为常数时，$\overline{f(z)}$也为常数，自然解析，所以选项C正确。

选项D

若$f^{\prime}(z) \equiv 0$，根据求导公式$f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}$，当$f^{\prime}(z) = 0$时，$\frac{\partial u}{\partial x}=0$，$\(\frac{\partial v}{\partial x}=0$，则$u$和$v$都为常数，即$\(f(z)$为常数，所以选项D正确。