下列哪个函数不能作为调和函数？A. log(x^2 + y^2)B. x^2 - y^2C. x^3 - 3xy^2D. (1)/(x^2 + y^2)

调和函数的定义是满足拉普拉斯方程$\nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$的函数。本题需要逐一验证四个选项是否满足该方程。关键在于正确计算二阶偏导数并求和，尤其注意选项D的计算容易出错。

选项A：$\log(x^2 + y^2)$

1. 一阶偏导：$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}$，$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2}$。
2. 二阶偏导：
   • $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{2(x^2 + y^2) - 4x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2y^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2}$，
   • $\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{2(x^2 + y^2) - 4y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2}$。
3. 求和：$\nabla^2 u = 0$，满足调和函数。

选项B：$x^2 - y^2$

1. 二阶偏导：
   • $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 2$，
   • $\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -2$。
2. 求和：$\nabla^2 u = 2 + (-2) = 0$，满足调和函数。

选项C：$x^3 - 3xy^2$

1. 二阶偏导：
   • $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 6x$，
   • $\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -6x$。
2. 求和：$\nabla^2 u = 6x + (-6x) = 0$，满足调和函数。

选项D：$\frac{1}{x^2 + y^2}$

1. 一阶偏导：$\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{-2x}{(x^2 + y^2)^2}$，$\frac{\partial w}{\partial y} = \frac{-2y}{(x^2 + y^2)^2}$。
2. 二阶偏导：
   • $\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} = \frac{-2(x^2 + y^2)^2 + 8x^2(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2)^4} = \frac{6x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^3}$，
   • $\frac{\partial^2 w}{\partial y^2} = \frac{-2(x^2 + y^2)^2 + 8y^2(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2)^4} = \frac{-2x^2 + 6y^2}{(x^2 + y^2)^3}$。
3. 求和：$\nabla^2 w = \frac{4(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2)^3} = \frac{4}{(x^2 + y^2)^2} \neq 0$，不满足调和函数。