题目
判断：函数项级数sum_(n=1)^inftyu_(n)(x)收敛的充分必要条件是：余项r_(n)(x)当ntoinfty时的极限为零，即lim_(ntoinfty)r_(n)(x)=0，这里x属于收敛域.（）A. 对B. 错
判断：函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)$收敛的充分必要条件是：余项$r_{n}(x)$当$n\to\infty$时的极限为零，即$\lim_{n\to\infty}r_{n}(x)=0$，这里x属于收敛域.（）
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：定义部分和
函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的部分和为 $s_n(x) = \sum_{k=1}^n u_k(x)$，即前 $n$ 项的和。
步骤 2：定义余项
余项 $r_n(x) = s(x) - s_n(x)$，其中 $s(x)$ 是级数的和，即当 $n \to \infty$ 时，$s_n(x)$ 的极限。
步骤 3：分析收敛性
若级数收敛，则 $\lim_{n \to \infty} s_n(x) = s(x)$，从而 $\lim_{n \to \infty} r_n(x) = 0$。反之，若 $\lim_{n \to \infty} r_n(x) = 0$，则 $\lim_{n \to \infty} s_n(x) = s(x)$，级数收敛。
函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的部分和为 $s_n(x) = \sum_{k=1}^n u_k(x)$，即前 $n$ 项的和。
步骤 2：定义余项
余项 $r_n(x) = s(x) - s_n(x)$，其中 $s(x)$ 是级数的和，即当 $n \to \infty$ 时，$s_n(x)$ 的极限。
步骤 3：分析收敛性
若级数收敛，则 $\lim_{n \to \infty} s_n(x) = s(x)$，从而 $\lim_{n \to \infty} r_n(x) = 0$。反之，若 $\lim_{n \to \infty} r_n(x) = 0$，则 $\lim_{n \to \infty} s_n(x) = s(x)$，级数收敛。