题目
3.求下列极限:-|||-(1) lim _(xarrow 0)sqrt ({x)^2-2x+5} ;-|||-(4 lim _(xarrow 0)dfrac (sqrt {x+1)-1}(x) ;-|||-(2)lim(sin2α)^3;-|||-alpha arrow dfrac (pi )(4)-|||-(5) lim _(xarrow 1)dfrac (sqrt {5x-4)-sqrt (x)}(x-1) =-|||-(3) lim ln (2cos 2x);-|||--dfrac (pi )(6)-|||-(6) lim _(xarrow a)dfrac (sin x-sin alpha )(x-alpha ) =
题目解答
答案
[1] 本题考查极限的简单运算。
利用极限运算法则$\lim_{x\rightarrow a}[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$，可将原式简化来求得结果。
：$\lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{x^{2}-2x+5}$
$=\sqrt{\lim_{x\rightarrow 0}(x^{2}-2x+5)}$
$=\sqrt{0-0+5}$
$=\sqrt{5}$
所以原式$=\sqrt{5}$。
[2] 见答案
(2)lim(sin2α)3$\alpha \rightarrow \dfrac {\pi }{4}$3)|lim In(2cos22x);$x-\dfrac {\pi }{6}$
[3] 本题考查的是极限的计算。
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sqrt {x+1}-1}{x}$
$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {(\sqrt {x+1}-1)}{x(\sqrt {x+1}+1)}$
$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{2\sqrt {x+1}+2}$
$=\dfrac {1}{4}$
[4] 本题考查了极限的求法，属于基础题.
(5) $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\sqrt {5x-4}-\sqrt {x}}{x-1}$
$=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {(5x-4)-x}{x-1}\cdot \dfrac {1}{\sqrt {5x-4}+\sqrt {x}}$
$=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {4(x-1)}{x-1}\cdot \dfrac {1}{\sqrt {5x-4}+\sqrt {x}}$
$=4\cdot \dfrac {1}{\sqrt {5-4}+\sqrt {1}}$
$=2$
(6) $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {\sin x-\sin \alpha }{x-\alpha }$
$=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {(x-\alpha )\cos \theta }{x-\alpha }$
$=\lim _{x\rightarrow a}\cos \theta$
$=\cos \alpha $
利用极限运算法则$\lim_{x\rightarrow a}[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$，可将原式简化来求得结果。
：$\lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{x^{2}-2x+5}$
$=\sqrt{\lim_{x\rightarrow 0}(x^{2}-2x+5)}$
$=\sqrt{0-0+5}$
$=\sqrt{5}$
所以原式$=\sqrt{5}$。
[2] 见答案
(2)lim(sin2α)3$\alpha \rightarrow \dfrac {\pi }{4}$3)|lim In(2cos22x);$x-\dfrac {\pi }{6}$
[3] 本题考查的是极限的计算。
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sqrt {x+1}-1}{x}$
$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {(\sqrt {x+1}-1)}{x(\sqrt {x+1}+1)}$
$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{2\sqrt {x+1}+2}$
$=\dfrac {1}{4}$
[4] 本题考查了极限的求法，属于基础题.
(5) $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\sqrt {5x-4}-\sqrt {x}}{x-1}$
$=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {(5x-4)-x}{x-1}\cdot \dfrac {1}{\sqrt {5x-4}+\sqrt {x}}$
$=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {4(x-1)}{x-1}\cdot \dfrac {1}{\sqrt {5x-4}+\sqrt {x}}$
$=4\cdot \dfrac {1}{\sqrt {5-4}+\sqrt {1}}$
$=2$
(6) $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {\sin x-\sin \alpha }{x-\alpha }$
$=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {(x-\alpha )\cos \theta }{x-\alpha }$
$=\lim _{x\rightarrow a}\cos \theta$
$=\cos \alpha $
解析
步骤 1：计算 $\lim _{x\rightarrow 0}\sqrt {{x}^{2}-2x+5}$
根据极限的运算法则，我们可以直接将 $x=0$ 代入表达式中计算。
步骤 2：计算 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sqrt {x+1}-1}{x}$
这个极限可以通过有理化分子来简化计算。
步骤 3：计算 $\lim _{\alpha \rightarrow \dfrac {\pi }{4}}\sin^3(2\alpha)$
直接将 $\alpha = \dfrac {\pi }{4}$ 代入表达式中计算。
步骤 4：计算 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\sqrt {5x-4}-\sqrt {x}}{x-1}$
这个极限可以通过分子有理化来简化计算。
步骤 5：计算 $\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{6}}\ln (2\cos 2x)$
直接将 $x = \dfrac {\pi }{6}$ 代入表达式中计算。
步骤 6：计算 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {\sin x-\sin \alpha }{x-\alpha }$
这个极限可以通过使用三角函数的差值公式来简化计算。
根据极限的运算法则，我们可以直接将 $x=0$ 代入表达式中计算。
步骤 2：计算 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sqrt {x+1}-1}{x}$
这个极限可以通过有理化分子来简化计算。
步骤 3：计算 $\lim _{\alpha \rightarrow \dfrac {\pi }{4}}\sin^3(2\alpha)$
直接将 $\alpha = \dfrac {\pi }{4}$ 代入表达式中计算。
步骤 4：计算 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\sqrt {5x-4}-\sqrt {x}}{x-1}$
这个极限可以通过分子有理化来简化计算。
步骤 5：计算 $\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{6}}\ln (2\cos 2x)$
直接将 $x = \dfrac {\pi }{6}$ 代入表达式中计算。
步骤 6：计算 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {\sin x-\sin \alpha }{x-\alpha }$
这个极限可以通过使用三角函数的差值公式来简化计算。