[例5] 积分 (int )_(0)^2dx(int )_(0)^sqrt (2x-{x^2)}sqrt ({x)^2+(y)^2}dy= __

考查要点：本题主要考查二重积分的计算，特别是利用极坐标变换简化积分过程的能力。
解题核心思路：

1. 识别积分区域：原积分区域由$y = \sqrt{2x - x^2}$界定，转化为极坐标方程可得$r = 2\cos\theta$，对应半圆区域。
2. 转换积分形式：利用极坐标变换$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，将被积函数$\sqrt{x^2 + y^2}$简化为$r$，并结合雅可比行列式$r$调整积分元。
3. 简化积分计算：通过极坐标变换，将复杂的直角坐标积分转化为对称性更强的极坐标积分，利用三角函数积分公式完成计算。

步骤1：确定积分区域的极坐标方程

原积分区域满足$y = \sqrt{2x - x^2}$，平方后得：
$x^2 + y^2 = 2x \implies r^2 = 2r\cos\theta \implies r = 2\cos\theta.$
因此，积分区域在极坐标下为$r \in [0, 2\cos\theta]$，$\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$。

步骤2：转换积分表达式

被积函数$\sqrt{x^2 + y^2} = r$，雅可比行列式为$r$，故积分转换为：
$\begin{aligned}\int_{0}^{2} dx \int_{0}^{\sqrt{2x - x^2}} \sqrt{x^2 + y^2} \, dy &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{2\cos\theta} r \cdot r \, dr \\&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2\cos\theta} r^2 \, dr \, d\theta.\end{aligned}$

步骤3：计算内积分

对$r$积分：
$\int_{0}^{2\cos\theta} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{2\cos\theta} = \frac{(2\cos\theta)^3}{3} = \frac{8}{3} \cos^3\theta.$

步骤4：计算外积分

对$\theta$积分：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8}{3} \cos^3\theta \, d\theta = \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{9}.$
其中，$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3\theta \, d\theta = \frac{2}{3}$可通过分部积分或递推公式求得。