题目

判断题（共8题，32.0分）单题限时 05:5820.（4.0分）若k_(1),k_(2),...,k_(m)不全为0时，k_(1)a_(1)+k_(2)a_(2)+...+k_(m)a_(m) neq 0，则向量组a_(1),a_(2),...,a_(m)线性无关。对

判断题（共8题，32.0分） 单题限时 05:58 20.（4.0分） 若$k_{1},k_{2},\cdots,k_{m}$不全为0时，$k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+\cdots+k_{m}a_{m} \neq 0$，则向量组$a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}$线性无关。 对

题目解答

答案

为了判断向量组 $a_1, a_2, \cdots, a_m$ 是否线性无关，我们需要理解线性无关的定义。向量组 $a_1, a_2, \cdots, a_m$ 线性无关当且仅当对于任意的标量 $k_1, k_2, \cdots, k_m$，如果 $k_1 a_1 + k_2 a_2 + \cdots + k_m a_m = 0$，则 $k_1 = k_2 = \cdots = k_m = 0$。 给定的条件是：若 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ 不全为0时， $k_1 a_1 + k_2 a_2 + \cdots + k_m a_m \neq 0$。这个条件的逆否命题是：若 $k_1 a_1 + k_2 a_2 + \cdots + k_m a_m = 0$，则 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ 全为0。这正好符合线性无关的定义。 因此，向量组 $a_1, a_2, \cdots, a_m$ 线性无关。 答案是：$\boxed{\text{对}}$。

解析

线性无关的定义是判断本题的核心。向量组线性无关的充要条件是：当且仅当所有系数全为零时，线性组合才等于零向量。题目中的条件“若存在不全为零的系数，线性组合不等于零”等价于该定义的逆否命题，因此可以直接判定向量组线性无关。

  1. 理解线性无关的定义
    向量组 $a_1, a_2, \cdots, a_m$ 线性无关，当且仅当：
    $k_1 a_1 + k_2 a_2 + \cdots + k_m a_m = 0 \implies k_1 = k_2 = \cdots = k_m = 0.$

  2. 分析题目条件
    题目给出：若 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ 不全为0，则 $k_1 a_1 + k_2 a_2 + \cdots + k_m a_m \neq 0$。
    这是原定义的逆否命题，即：
    $k_1 a_1 + k_2 a_2 + \cdots + k_m a_m = 0 \implies k_1 = k_2 = \cdots = k_m = 0.$

  3. 结论
    题目条件与线性无关的定义完全一致，因此向量组线性无关。