题目
已知一个质点在平面内做曲线运动，其运动方程为：则质点在时的瞬时速度 _____ ;质点在头 内的平均速度 _____ .
已知一个质点在
平面内做曲线运动，其运动方程为：
则质点在
时的瞬时速度
_____
;
质点在头
内的平均速度
_____ .
题目解答
答案
解：
将代入得到：
那么速度大小：
质点在头两秒内的位移：
这里
那么
则平均速度：
故本题答案为：
解析
步骤 1：求瞬时速度
根据运动方程$\overrightarrow {r}=(3+4t)\overrightarrow {i}+(4+4t-3{t}^{2})\overrightarrow {j}$，瞬时速度$\overrightarrow {v}$是位置矢量$\overrightarrow {r}$对时间$t$的导数。因此，我们对$\overrightarrow {r}$求导得到$\overrightarrow {v}$。
步骤 2：计算瞬时速度
$\overrightarrow {v}=\dfrac {d\overrightarrow {r}}{dt}=\dfrac {d}{dt}[(3+4t)\overrightarrow {i}+(4+4t-3{t}^{2})\overrightarrow {j}]$
$=4\overrightarrow {i}+(4-6t)\overrightarrow {j}$
步骤 3：求t=2s时的瞬时速度
将t=2s代入瞬时速度表达式中，得到：
$\overrightarrow {v}=4\overrightarrow {i}+(4-6\times 2)\overrightarrow {j}$
$=4\overrightarrow {i}-8\overrightarrow {j}$
步骤 4：计算瞬时速度大小
瞬时速度大小为：
$|\overrightarrow {v}|=\sqrt {{4}^{2}+{(-8)}^{2}}=\sqrt {80}=4\sqrt {5}m/s$
步骤 5：求头2s内的位移
头2s内的位移为：
$\overrightarrow {r}=(3+4\times 2)\overrightarrow {i}+(4+4\times 2-3\times {2}^{2})\overrightarrow {j}$
$=11\overrightarrow {i}-4\overrightarrow {j}$
步骤 6：计算头2s内的平均速度
平均速度为位移除以时间，即：
$\overrightarrow {v}_{avg}=\dfrac {\overrightarrow {r}}{t}=\dfrac {11\overrightarrow {i}-4\overrightarrow {j}}{2}$
$=5.5\overrightarrow {i}-2\overrightarrow {j}$
步骤 7：计算平均速度大小
平均速度大小为：
$|\overrightarrow {v}_{avg}|=\sqrt {{5.5}^{2}+{(-2)}^{2}}=\sqrt {30.25+4}=\sqrt {34.25}=2\sqrt {5}m/s$
根据运动方程$\overrightarrow {r}=(3+4t)\overrightarrow {i}+(4+4t-3{t}^{2})\overrightarrow {j}$，瞬时速度$\overrightarrow {v}$是位置矢量$\overrightarrow {r}$对时间$t$的导数。因此，我们对$\overrightarrow {r}$求导得到$\overrightarrow {v}$。
步骤 2：计算瞬时速度
$\overrightarrow {v}=\dfrac {d\overrightarrow {r}}{dt}=\dfrac {d}{dt}[(3+4t)\overrightarrow {i}+(4+4t-3{t}^{2})\overrightarrow {j}]$
$=4\overrightarrow {i}+(4-6t)\overrightarrow {j}$
步骤 3：求t=2s时的瞬时速度
将t=2s代入瞬时速度表达式中，得到：
$\overrightarrow {v}=4\overrightarrow {i}+(4-6\times 2)\overrightarrow {j}$
$=4\overrightarrow {i}-8\overrightarrow {j}$
步骤 4：计算瞬时速度大小
瞬时速度大小为：
$|\overrightarrow {v}|=\sqrt {{4}^{2}+{(-8)}^{2}}=\sqrt {80}=4\sqrt {5}m/s$
步骤 5：求头2s内的位移
头2s内的位移为：
$\overrightarrow {r}=(3+4\times 2)\overrightarrow {i}+(4+4\times 2-3\times {2}^{2})\overrightarrow {j}$
$=11\overrightarrow {i}-4\overrightarrow {j}$
步骤 6：计算头2s内的平均速度
平均速度为位移除以时间，即：
$\overrightarrow {v}_{avg}=\dfrac {\overrightarrow {r}}{t}=\dfrac {11\overrightarrow {i}-4\overrightarrow {j}}{2}$
$=5.5\overrightarrow {i}-2\overrightarrow {j}$
步骤 7：计算平均速度大小
平均速度大小为：
$|\overrightarrow {v}_{avg}|=\sqrt {{5.5}^{2}+{(-2)}^{2}}=\sqrt {30.25+4}=\sqrt {34.25}=2\sqrt {5}m/s$