题目
已知向量组a_1,a_2,dotsc,a_m线性相关,则[]。A. 该向量组的最大线性无关组是唯一的;B. 该向量组的秩小于m;C. 该向量组的任何部分组必线性无关;D. 该向量组的任何部分组必线性相关
已知向量组$a_1,a_2,\dotsc,a_m$线性相关,则[]。
A. 该向量组的最大线性无关组是唯一的;
B. 该向量组的秩小于$m$;
C. 该向量组的任何部分组必线性无关;
D. 该向量组的任何部分组必线性相关
题目解答
答案
B. 该向量组的秩小于$m$;
解析
步骤 1:理解线性相关和线性无关的定义
线性相关:如果存在一组不全为零的数$k_1,k_2,\dotsc,k_m$,使得$k_1a_1+k_2a_2+\dotsc+k_ma_m=0$,则称向量组$a_1,a_2,\dotsc,a_m$线性相关。
线性无关:如果只有当$k_1=k_2=\dotsc=k_m=0$时,$k_1a_1+k_2a_2+\dotsc+k_ma_m=0$才成立,则称向量组$a_1,a_2,\dotsc,a_m$线性无关。
步骤 2:分析选项
A. 该向量组的最大线性无关组是唯一的。
- 线性相关向量组的最大线性无关组不一定是唯一的,因为可以有不同的组合方式来构成最大线性无关组。
B. 该向量组的秩小于$m$。
- 向量组的秩是最大线性无关组中向量的个数。由于向量组线性相关,所以最大线性无关组的向量个数小于$m$,因此秩小于$m$。
C. 该向量组的任何部分组必线性无关。
- 线性相关向量组的部分组可能线性相关,也可能线性无关,因此这个选项不正确。
D. 该向量组的任何部分组必线性相关。
- 线性相关向量组的部分组可能线性相关,也可能线性无关,因此这个选项不正确。
线性相关:如果存在一组不全为零的数$k_1,k_2,\dotsc,k_m$,使得$k_1a_1+k_2a_2+\dotsc+k_ma_m=0$,则称向量组$a_1,a_2,\dotsc,a_m$线性相关。
线性无关:如果只有当$k_1=k_2=\dotsc=k_m=0$时,$k_1a_1+k_2a_2+\dotsc+k_ma_m=0$才成立,则称向量组$a_1,a_2,\dotsc,a_m$线性无关。
步骤 2:分析选项
A. 该向量组的最大线性无关组是唯一的。
- 线性相关向量组的最大线性无关组不一定是唯一的,因为可以有不同的组合方式来构成最大线性无关组。
B. 该向量组的秩小于$m$。
- 向量组的秩是最大线性无关组中向量的个数。由于向量组线性相关,所以最大线性无关组的向量个数小于$m$,因此秩小于$m$。
C. 该向量组的任何部分组必线性无关。
- 线性相关向量组的部分组可能线性相关,也可能线性无关,因此这个选项不正确。
D. 该向量组的任何部分组必线性相关。
- 线性相关向量组的部分组可能线性相关,也可能线性无关,因此这个选项不正确。