题目
求二元函数 =(x)^2+y,求二元函数 =(x)^2+y,
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造拉格朗日函数
构造拉格朗日函数 $F(x,y,\mu )=f(x,y)+\mu (2x+3y-1)$，其中 $f(x,y)={x}^{2}+y$，$\mu$ 是拉格朗日乘子。因此，$F(x,y,\mu )={x}^{2}+y+\mu (2x+3y-1)$。
步骤 2：求偏导数
对 $F(x,y,\mu )$ 求偏导数，得到：
$\frac{\partial F}{\partial x}=2x+2\mu$，
$\frac{\partial F}{\partial y}=1+3\mu$，
$\frac{\partial F}{\partial \mu}=2x+3y-1$。
步骤 3：解方程组
将偏导数等于零的方程组联立求解，得到：
$2x+2\mu=0$，
$1+3\mu=0$，
$2x+3y-1=0$。
解得：$\mu=-\frac{1}{3}$，$x=\frac{1}{3}$，$y=\frac{1}{9}$。
步骤 4：计算极值
将 $x=\frac{1}{3}$，$y=\frac{1}{9}$ 代入 $z={x}^{2}+y$，得到极值 $z=\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}$。
构造拉格朗日函数 $F(x,y,\mu )=f(x,y)+\mu (2x+3y-1)$，其中 $f(x,y)={x}^{2}+y$，$\mu$ 是拉格朗日乘子。因此，$F(x,y,\mu )={x}^{2}+y+\mu (2x+3y-1)$。
步骤 2：求偏导数
对 $F(x,y,\mu )$ 求偏导数，得到：
$\frac{\partial F}{\partial x}=2x+2\mu$，
$\frac{\partial F}{\partial y}=1+3\mu$，
$\frac{\partial F}{\partial \mu}=2x+3y-1$。
步骤 3：解方程组
将偏导数等于零的方程组联立求解，得到：
$2x+2\mu=0$，
$1+3\mu=0$，
$2x+3y-1=0$。
解得：$\mu=-\frac{1}{3}$，$x=\frac{1}{3}$，$y=\frac{1}{9}$。
步骤 4：计算极值
将 $x=\frac{1}{3}$，$y=\frac{1}{9}$ 代入 $z={x}^{2}+y$，得到极值 $z=\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}$。