题目

已知A=(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1，1，1，1)T+k1(1，0，2，1)T+k2(2，1，1，-1)T． (Ⅰ)令B=(α1，α2，α3)，求Bx=b的通解； (Ⅱ)令C=(α1，α2，α3，α4，b)，求Cx=b的通解．

已知A=(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1，1，1，1)T+k1(1，0，2，1)T+k2(2，1，1，-1)T．    (Ⅰ)令B=(α1，α2，α3)，求Bx=b的通解；    (Ⅱ)令C=(α1，α2，α3，α4，b)，求Cx=b的通解．

题目解答

答案

解：(Ⅰ)先求Bx=0的基础解系，为此，首先要找出矩阵B的秩．    由题目的已知信息可得：Ax=0的基础解系中含有两个向量，故4-r(A)=2，也即r(A)=2，而由(1，0，2，1)T是Ax=0的解可得α1+2α3+α4=0，故α4=-α1-2α3．可知α4能由α1，α2，α3线性表示，故r(α1，α2，α3，α4)=r(α1，α2，α3)=r(B)，也即r(B)=2．因此，Bx=0的基础解系中仅含一个向量，求出Bx=0的任一非零解即为其基础解系．    由于(1，0，2，1)T，(2，1，1，-1)T均为Ax=0的解，故它们的和(3，1，3，0)T也为Ax=0的解，可知3α1+α2+3α3=0，因此(3，1，3)T为Bx=0的解，也即(3，1，3)T为Bx=0的基础解系．    最后，再求Bx=b的任何一个特解即可．只需使得Ax=b的通解中α1的系数为0即可．    为此，令(1，1，1，1)T+k1(1，0，2，1)T+k2(2，1，1，-1)T中k1=0，k2=1，得(3，2，2，0)T是Ax=b的一个解，故(3，2，2)T是Bx=b的一个解．    可知Bx=b的通解为(3，2，2)T+k(3，1，3)T，k∈R．    (Ⅱ)与(Ⅰ)类似，先求Cx=0的基础解系．    由于C即为线性方程组Ax=b的增广矩阵，故r(C)=r(A)=2，可知Cx=0的基础解系中含有5-2=3个线性无关的解向量，为此，需要找出Cx=0的三个线性无关的解．    由于(1，0，2，1)T，(2，1，1，-1)T均为Ax=0的解，可知(1，0，2，1，0)T，(2，1，1，-1，0)T均为Cx=0的解．而(1，1，1，1)T为Ax=b的解，可知α1+α2+α3+α4=b，也即α1+α2+α3+α4-b=0，故(1，1，1，1，-1)T也为Cx=0的解．    这样，我们就找到了Cx=0的三个解：(1，0，2，1，0)T，(2，1，1，-1，0)T，(1，1，1，1，-1)T，容易验证它们是线性无关的，故它们即为Cx=0的基础解系．    最后，易知(0，0，0，0，1)T为Cx=b的解，故Cx=b的通解为    (0，0，0，0，1)T+是k1(1，0，2，1，0)T+k2(2，1，1，-1，0)T+k3(1，1，1，1，-1)T，ki∈R，i=1，2，3．

解析

考查要点：本题主要考查非齐次线性方程组的通解结构、基础解系的求解，以及增广矩阵的秩对解空间的影响。

解题思路：

  1. 问题Ⅰ的关键在于确定矩阵B的秩，从而找到对应的齐次方程Bx=0的基础解系。利用已知Ax=0的基础解系信息，结合α4可由α1,α2,α3线性表示，得出r(B)=2，进而确定基础解系的维数。再通过构造特解，得到Bx=b的通解。
  2. 问题Ⅱ需分析增广矩阵C的秩，确定齐次方程Cx=0的基础解系。利用Ax=0的解和Ax=b的特解构造Cx=0的解，最终结合特解写出通解。

破题关键：

  • 矩阵秩的推导：通过Ax=0的基础解系个数确定r(A)=2，进而推断r(B)=2。
  • 基础解系的构造：利用已知解向量的线性组合或扩展，找到满足条件的解。
  • 特解的选取：通过调整通解中的参数，使解满足特定矩阵的方程。

第（Ⅰ）题

确定矩阵B的秩

由Ax=0的基础解系含两个向量，得r(A)=4−2=2。因α4可由α1,α2,α3线性表示，故r(B)=r(α1,α2,α3)=2。

求Bx=0的基础解系

取Ax=0的两个解向量相加：
$(1,0,2,1)^T + (2,1,1,-1)^T = (3,1,3,0)^T$
前三分量满足Bx=0，故基础解系为$(3,1,3)^T$。

求Bx=b的特解

令Ax=b的通解中α4的系数为0，取k1=0，k2=1，得特解$(3,2,2)^T$。

通解形式

$x = (3,2,2)^T + k(3,1,3)^T, \quad k \in \mathbb{R}$

第（Ⅱ）题

确定矩阵C的秩

增广矩阵C的秩r(C)=r(A)=2，故Cx=0的解空间维数为5−2=3。

求Cx=0的基础解系

  1. Ax=0的解扩展为$(1,0,2,1,0)^T$和$(2,1,1,-1,0)^T$。
  2. Ax=b的特解$(1,1,1,1)^T$扩展为$(1,1,1,1,-1)^T$。

求Cx=b的特解

取$(0,0,0,0,1)^T$，验证满足Cx=b。

通解形式

$x = (0,0,0,0,1)^T + k_1(1,0,2,1,0)^T + k_2(2,1,1,-1,0)^T + k_3(1,1,1,1,-1)^T, \quad k_i \in \mathbb{R}$