(10) lim _(xarrow 0)dfrac (tan x-sin x)((sqrt [3]{1+{x)^2}-1)(sqrt (1+sin x)-1)}

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用等价无穷小替换或泰勒展开处理复杂分式极限的能力。

解题核心思路：

1. 分子部分：将$\tan x - \sin x$展开为$x^3$的高阶无穷小；
2. 分母部分：分别对两个因子$\sqrt[3]{1+x^2}-1$和$\sqrt{1+\sin x}-1$进行泰勒展开或等价无穷小替换，化简后得到$x^3$的高阶无穷小；
3. 整体化简：将分子与分母的主部相除，得到极限值。

破题关键点：

• 识别分子和分母的主部，即最高阶的无穷小项；
• 灵活应用等价无穷小替换，如$\tan x \sim x + \frac{x^3}{3}$，$\sin x \sim x - \frac{x^3}{6}$，$\sqrt[3]{1+x^2} -1 \sim \frac{x^2}{3}$，$\sqrt{1+\sin x} -1 \sim \frac{\sin x}{2} \sim \frac{x}{2}$。

分子部分：
$\begin{aligned}\tan x - \sin x &= \left(x + \frac{x^3}{3}\right) - \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + o(x^3) \\&= \frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6} + o(x^3) \\&= \frac{x^3}{2} + o(x^3).\end{aligned}$

分母部分：

1. 第一个因子：
   $\sqrt[3]{1+x^2} -1 = \left(1 + \frac{x^2}{3} - \frac{x^4}{9} + \cdots\right) -1 \sim \frac{x^2}{3}.$

2. 第二个因子：
   $\sqrt{1+\sin x} -1 \sim \frac{\sin x}{2} \sim \frac{x}{2}.$

分母整体：
$\left(\frac{x^2}{3}\right) \cdot \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{x^3}{6}.$

极限计算：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{\frac{x^3}{6}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{6}} = 3.$