(8) lim _(xarrow 0)dfrac ({e)^3x-(e)^2x-(e)^x+1}(sqrt [3]{(1-x)(1+x))-1} .

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用等价无穷小替换简化表达式的能力，以及因式分解的技巧。

解题核心思路：

1. 分子分解：将分子通过因式分解转化为更易处理的形式，利用指数函数的展开式或等价无穷小替换简化。
2. 分母处理：将分母中的根式表达式展开，应用等价无穷小替换。
3. 代入求极限：将分子和分母的等价无穷小形式代入，直接计算比值。

破题关键点：

• 分子分解：将分子分解为两个指数函数差的乘积，简化计算。
• 等价无穷小替换：正确应用 $e^{kx} - 1 \sim kx$ 和 $(1 + ax)^n - 1 \sim anx$ 的替换规则。

分子部分的处理

原分子为 $e^{3x} - e^{2x} - e^x + 1$，通过因式分解可得：
$\begin{aligned}e^{3x} - e^{2x} - e^x + 1 &= e^{2x}(e^x - 1) - (e^x - 1) \\&= (e^x - 1)(e^{2x} - 1).\end{aligned}$
当 $x \to 0$ 时，利用等价无穷小替换：

• $e^x - 1 \sim x$，
• $e^{2x} - 1 \sim 2x$，
  因此分子近似为 $x \cdot 2x = 2x^2$。

分母部分的处理

分母为 $\sqrt[3]{(1-x)(1+x)} - 1 = (1 - x^2)^{1/3} - 1$。
当 $x \to 0$ 时，利用等价无穷小替换：
$(1 - x^2)^{1/3} - 1 \sim \frac{1}{3}(-x^2) = -\frac{x^2}{3}.$

极限计算

将分子和分母的近似形式代入原式：
$\lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{-\frac{x^2}{3}} = \frac{2}{-\frac{1}{3}} = -6.$