题目
1.设f(x,y)=e^sqrt(x^(2)+y^{4)},求f_(x)(0,0),f_(y)(0,0).
1.设$f(x,y)=e^{\sqrt{x^{2}+y^{4}}}$,求$f_{x}(0,0),f_{y}(0,0)$.
题目解答
答案
根据偏导数定义，计算如下：
1. **计算 $ f_x(0,0) $**
\[
f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{|\Delta x|} - 1}{\Delta x}
\]
当 $\Delta x \to 0^+$，极限为1；当 $\Delta x \to 0^-$，极限为-1。
**答案：不存在**
2. **计算 $ f_y(0,0) $**
\[
f_y(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{e^{(\Delta y)^2} - 1}{\Delta y}
\]
利用等价无穷小 $e^{(\Delta y)^2} - 1 \sim (\Delta y)^2$，得
\[
\lim_{\Delta y \to 0} \Delta y = 0
\]
**答案：0**
**最终答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
f_x(0,0) & \text{不存在} \\
f_y(0,0) & = 0
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：计算 $f_x(0,0)$
根据偏导数定义，我们有
\[ f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0+\Delta x,0) - f(0,0)}{\Delta x} \]
代入 $f(x,y)$ 的表达式，得到
\[ f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{\sqrt{(\Delta x)^{2}+0^{4}}} - e^{\sqrt{0^{2}+0^{4}}}}{\Delta x} \]
\[ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{|\Delta x|} - 1}{\Delta x} \]
当 $\Delta x \to 0^+$，极限为1；当 $\Delta x \to 0^-$，极限为-1。因此，$f_x(0,0)$ 不存在。
步骤 2：计算 $f_y(0,0)$
根据偏导数定义，我们有
\[ f_y(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(0,0+\Delta y) - f(0,0)}{\Delta y} \]
代入 $f(x,y)$ 的表达式，得到
\[ f_y(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{e^{\sqrt{0^{2}+(\Delta y)^{4}}} - e^{\sqrt{0^{2}+0^{4}}}}{\Delta y} \]
\[ = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{e^{(\Delta y)^2} - 1}{\Delta y} \]
利用等价无穷小 $e^{(\Delta y)^2} - 1 \sim (\Delta y)^2$，得
\[ \lim_{\Delta y \to 0} \Delta y = 0 \]
根据偏导数定义，我们有
\[ f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0+\Delta x,0) - f(0,0)}{\Delta x} \]
代入 $f(x,y)$ 的表达式，得到
\[ f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{\sqrt{(\Delta x)^{2}+0^{4}}} - e^{\sqrt{0^{2}+0^{4}}}}{\Delta x} \]
\[ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{|\Delta x|} - 1}{\Delta x} \]
当 $\Delta x \to 0^+$，极限为1；当 $\Delta x \to 0^-$，极限为-1。因此，$f_x(0,0)$ 不存在。
步骤 2：计算 $f_y(0,0)$
根据偏导数定义，我们有
\[ f_y(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(0,0+\Delta y) - f(0,0)}{\Delta y} \]
代入 $f(x,y)$ 的表达式，得到
\[ f_y(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{e^{\sqrt{0^{2}+(\Delta y)^{4}}} - e^{\sqrt{0^{2}+0^{4}}}}{\Delta y} \]
\[ = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{e^{(\Delta y)^2} - 1}{\Delta y} \]
利用等价无穷小 $e^{(\Delta y)^2} - 1 \sim (\Delta y)^2$，得
\[ \lim_{\Delta y \to 0} \Delta y = 0 \]