题目

4)判断对于任意方阵A,矩阵A+A^T是对称方阵. A. XB. v

$$ 4)判断对于任意方阵A,矩阵A+A^T是对称方阵. $$

  • A. X
  • B. v

题目解答

答案

B

解析

考查要点：本题主要考查矩阵转置的运算性质以及对称矩阵的定义。
解题核心思路：通过计算矩阵$A + A^T$的转置，验证其是否等于原矩阵，从而判断其对称性。
破题关键点：

  1. 对称矩阵的定义：若矩阵$B$满足$B^T = B$，则$B$是对称矩阵。

  2. 转置运算的性质：$(A + B)^T = A^T + B^T$，$(A^T)^T = A$。

  3. 计算$(A + A^T)^T$
    根据转置运算的分配律：
    $(A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T$
    进一步化简$(A^T)^T$为$A$，得：
    $A^T + A = A + A^T$

  4. 验证对称性
    由上述计算可知：
    $(A + A^T)^T = A + A^T$
    因此，矩阵$A + A^T$满足对称矩阵的定义，结论成立。