计算：∫sin 5xsin 7xdx．

考查要点：本题主要考查三角函数的积分方法，特别是利用积化和差公式将乘积形式的三角函数转换为和差形式，从而简化积分过程。

解题核心思路：
当遇到两个不同频率的正弦函数相乘的积分时，优先考虑使用积化和差公式，将其转化为余弦函数的和差形式。这样可以将原积分拆分为两个简单的余弦函数积分，分别计算后合并即可得到结果。

破题关键点：

1. 正确应用积化和差公式：将 $\sin 5x \sin 7x$ 转换为 $\frac{1}{2}[\cos(2x) - \cos(12x)]$。
2. 分项积分：将积分拆分为两个余弦函数的积分，分别计算后合并结果。

步骤1：应用积化和差公式
根据公式 $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$，令 $A=5x$，$B=7x$，得：
$\sin 5x \sin 7x = \frac{1}{2}[\cos(2x) - \cos(12x)].$

步骤2：拆分积分
原积分变为：
$\int \sin 5x \sin 7x \, dx = \frac{1}{2} \int \cos 2x \, dx - \frac{1}{2} \int \cos 12x \, dx.$

步骤3：逐项积分

1. 计算 $\int \cos 2x \, dx$：
   $\int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C_1.$
2. 计算 $\int \cos 12x \, dx$：
   $\int \cos 12x \, dx = \frac{1}{12} \sin 12x + C_2.$

步骤4：合并结果
将两部分代入原积分表达式：
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} \sin 12x + C = \frac{1}{4} \sin 2x - \frac{1}{24} \sin 12x + C.$