题目
五、证明-|||-f (x )在[0,2]上连续,且 (0)=f(2), 证明:必存在一点 in (0,2), 使 (xi )=f(xi +1)-|||-∠α=4x+1Lu- 四.1. 唐义
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义辅助函数
定义辅助函数 $F(x) = f(x) - f(x+1)$，其中 $x \in [0,1]$。由于 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续，因此 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上也是连续的。
步骤 2：计算 $F(0)$ 和 $F(1)$
计算 $F(0)$ 和 $F(1)$ 的值：
$$
F(0) = f(0) - f(1)
$$
$$
F(1) = f(1) - f(2)
$$
由于 $f(0) = f(2)$，所以 $F(1) = f(1) - f(0)$。
步骤 3：应用介值定理
考虑 $F(0)$ 和 $F(1)$ 的符号。如果 $F(0) = 0$ 或 $F(1) = 0$，则 $f(0) = f(1)$ 或 $f(1) = f(2)$，即存在 $\xi = 0$ 或 $\xi = 1$ 使得 $f(\xi) = f(\xi + 1)$。如果 $F(0) \neq 0$ 且 $F(1) \neq 0$，则 $F(0)$ 和 $F(1)$ 必须异号（因为 $F(0) = -F(1)$）。根据介值定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $F(\xi) = 0$，即 $f(\xi) = f(\xi + 1)$。
定义辅助函数 $F(x) = f(x) - f(x+1)$，其中 $x \in [0,1]$。由于 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续，因此 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上也是连续的。
步骤 2：计算 $F(0)$ 和 $F(1)$
计算 $F(0)$ 和 $F(1)$ 的值：
$$
F(0) = f(0) - f(1)
$$
$$
F(1) = f(1) - f(2)
$$
由于 $f(0) = f(2)$，所以 $F(1) = f(1) - f(0)$。
步骤 3：应用介值定理
考虑 $F(0)$ 和 $F(1)$ 的符号。如果 $F(0) = 0$ 或 $F(1) = 0$，则 $f(0) = f(1)$ 或 $f(1) = f(2)$，即存在 $\xi = 0$ 或 $\xi = 1$ 使得 $f(\xi) = f(\xi + 1)$。如果 $F(0) \neq 0$ 且 $F(1) \neq 0$，则 $F(0)$ 和 $F(1)$ 必须异号（因为 $F(0) = -F(1)$）。根据介值定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $F(\xi) = 0$，即 $f(\xi) = f(\xi + 1)$。