[例1]设二维随机变量(X,Y)具有概率密度-|||-f(x,y)=-|||-^-2(x+y) lt xlt +infty lt ylt +infty -|||-0 其它-|||-则常数 C= __ (X,Y)落在区域 = (x,y)|xgt 0,ygt 0,x+yleqslant 1 内的-|||-概率为 __

步骤 1：确定常数 C
为了确定常数 C，我们需要利用概率密度函数的性质，即整个定义域上的积分等于1。因此，我们有：
$$
1 = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx \, dy = \int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{+\infty} C e^{-2(x+y)} \, dx \, dy
$$
步骤 2：计算积分
计算上述积分，我们得到：
$$
1 = C \int_{0}^{+\infty} e^{-2x} \, dx \int_{0}^{+\infty} e^{-2y} \, dy = C \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{C}{4}
$$
步骤 3：求解 C
从上面的等式中，我们可以解出 C：
$$
C = 4
$$
步骤 4：计算概率
为了计算(X,Y)落在区域 $D=\{ (x,y)|x\gt 0,y\gt 0,x+y\leqslant 1\} $ 内的概率，我们需要计算：
$$
P\{ (X,Y)\in D\} = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} 4 e^{-2(x+y)} \, dy \, dx
$$
步骤 5：计算内层积分
计算内层积分，我们得到：
$$
\int_{0}^{1-x} 4 e^{-2(x+y)} \, dy = 4 e^{-2x} \int_{0}^{1-x} e^{-2y} \, dy = 4 e^{-2x} \left[ -\frac{1}{2} e^{-2y} \right]_{0}^{1-x} = 2 e^{-2x} (1 - e^{-2(1-x)})
$$
步骤 6：计算外层积分
计算外层积分，我们得到：
$$
P\{ (X,Y)\in D\} = \int_{0}^{1} 2 e^{-2x} (1 - e^{-2(1-x)}) \, dx = 1 - 3 e^{-2}
$$