题目
2.设f是R"上的连续函数,c为实数.设-|||-_(c)= xin R'|f(x)lt c , _(c)= xin R'|f(x)leqslant c ,-|||-证明:A,为R"上的开集,B,为R"上的闭集.
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明 ${A}_{c}$ 为开集
- 任取 ${x}_{0} \in {A}_{c}$，即 $f({x}_{0}) < c$。
- 由于 $f$ 在 ${x}_{0}$ 处连续，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - {x}_{0}| < \delta$ 时，有 $|f(x) - f({x}_{0})| < \varepsilon$。
- 选择 $\varepsilon = c - f({x}_{0}) > 0$，则当 $|x - {x}_{0}| < \delta$ 时，有 $f(x) < c$。
- 因此，${x}_{0}$ 的 $\delta$ 邻域完全包含在 ${A}_{c}$ 内，故 ${A}_{c}$ 为开集。
步骤 2：证明 ${B}_{c}$ 为闭集
- 由于 $f$ 在 ${R}^{n}$ 上连续，$-f$ 也在 ${R}^{n}$ 上连续。
- ${B}_{c} = \{x \in {R}^{n} | f(x) \leqslant c\} = \{x \in {R}^{n} | -f(x) \geqslant -c\}$。
- ${B}_{c}^{c} = \{x \in {R}^{n} | -f(x) < -c\} = \{x \in {R}^{n} | f(x) > c\} = {A}_{c}$。
- 由步骤 1，${A}_{c}$ 为开集，故 ${B}_{c}^{c}$ 为开集，从而 ${B}_{c}$ 为闭集。
- 任取 ${x}_{0} \in {A}_{c}$，即 $f({x}_{0}) < c$。
- 由于 $f$ 在 ${x}_{0}$ 处连续，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - {x}_{0}| < \delta$ 时，有 $|f(x) - f({x}_{0})| < \varepsilon$。
- 选择 $\varepsilon = c - f({x}_{0}) > 0$，则当 $|x - {x}_{0}| < \delta$ 时，有 $f(x) < c$。
- 因此，${x}_{0}$ 的 $\delta$ 邻域完全包含在 ${A}_{c}$ 内，故 ${A}_{c}$ 为开集。
步骤 2：证明 ${B}_{c}$ 为闭集
- 由于 $f$ 在 ${R}^{n}$ 上连续，$-f$ 也在 ${R}^{n}$ 上连续。
- ${B}_{c} = \{x \in {R}^{n} | f(x) \leqslant c\} = \{x \in {R}^{n} | -f(x) \geqslant -c\}$。
- ${B}_{c}^{c} = \{x \in {R}^{n} | -f(x) < -c\} = \{x \in {R}^{n} | f(x) > c\} = {A}_{c}$。
- 由步骤 1，${A}_{c}$ 为开集，故 ${B}_{c}^{c}$ 为开集，从而 ${B}_{c}$ 为闭集。