16.计算 iint cos (y)^2dxdy, 其中D是由直线 =1, y=2 与 y=x-1 所围成的闭区域 .

考查要点：本题主要考查二重积分的计算，重点在于积分区域的确定和变量代换法的应用。

解题思路：

1. 确定积分区域：通过分析直线$x=1$、$y=2$和$y=x-1$的交点，明确积分区域$D$的形状为三角形。
2. 选择积分顺序：由于被积函数$\cos(y^2)$仅含$y$，优先选择先对$x$积分，简化计算。
3. 变量代换：对$y$的积分使用代换$u = y^2$，将复杂积分转化为基本积分形式。

步骤1：确定积分区域

1. 交点分析：
   • $x=1$与$y=2$交于$(1,2)$；
   • $x=1$与$y=x-1$交于$(1,0)$；
   • $y=2$与$y=x-1$交于$(3,2)$。
2. 区域形状：三角形顶点为$(1,0)$、$(1,2)$、$(3,2)$。

步骤2：选择积分顺序

• 先对$x$积分：对每个$y$，$x$的范围为$1 \leq x \leq y+1$；
• 后对$y$积分：$y$的范围为$0 \leq y \leq 2$。

步骤3：计算二重积分

1. 对$x$积分：
   $\int_{1}^{y+1} \cos(y^2) \, dx = \cos(y^2) \cdot (y+1 - 1) = y \cos(y^2)$
2. 对$y$积分：
   $\int_{0}^{2} y \cos(y^2) \, dy$
3. 变量代换：令$u = y^2$，则$du = 2y \, dy$，积分变为：
   $\frac{1}{2} \int_{0}^{4} \cos(u) \, du = \frac{1}{2} \sin(u) \Big|_{0}^{4} = \frac{1}{2} \sin(4)$