题目

lim (u)_(n)=a-|||-arrow infty , 证明lim (u)_(n)=a-|||-arrow infty . 并举例说明: 如果数列(|xn|)有极限, 但数列(xn)未必有极限.

, 证明. 并举例说明: 如果数列{|xn|}有极限, 但数列{xn}未必有极限.

题目解答

答案

证明 因为, 所以∀ε>0, ∃N∈N, 当n>N时, 有, 从而

||un|-|a||≤|un-a|<ε .

这就证明了.

 数列{|xn|}有极限, 但数列{xn}未必有极限. 例如, 但不存在.

解析

考查要点：本题主要考查极限的性质，特别是绝对值函数与极限的关系，以及反例的构造能力。

解题核心思路：

  1. 利用绝对值不等式：关键点在于应用绝对值的三角不等式性质，即对于任意实数$x$和$y$，有$| |x| - |y| | \leq |x - y|$。通过这一性质，将$|u_n|$与$|a|$的差转化为$|u_n - a|$，从而利用已知条件$\lim u_n = a$。
  2. 反例构造：寻找一个数列，其绝对值趋于某个极限，但原数列本身因振荡而不收敛。典型例子是摆动数列（如$x_n = (-1)^n$）。

破题关键：

  • 直接应用不等式：通过不等式将目标表达式与已知条件关联。
  • 反例的选择：需明确区分绝对值收敛与原数列收敛的关系。

证明部分

  1. 根据极限定义：已知$\lim_{n \to \infty} u_n = a$，则对任意$\varepsilon > 0$，存在$N \in \mathbb{N}$，当$n > N$时，有$|u_n - a| < \varepsilon$。
  2. 应用绝对值不等式：对任意$n$，有
    $| |u_n| - |a| | \leq |u_n - a|.$
  3. 结合已知条件：当$n > N$时，$|u_n - a| < \varepsilon$，因此
    $| |u_n| - |a| | < \varepsilon.$
  4. 结论：根据极限定义，$\lim_{n \to \infty} |u_n| = |a|$。

反例部分

构造数列：取$x_n = (-1)^n$。

  • 绝对值的极限：$|x_n| = 1$，显然$\lim_{n \to \infty} |x_n| = 1$。
  • 原数列的极限：$x_n$在$-1$和$1$之间无限振荡，极限不存在。