题目
lim (u)_(n)=a-|||-arrow infty , 证明lim (u)_(n)=a-|||-arrow infty . 并举例说明: 如果数列(|xn|)有极限, 但数列(xn)未必有极限.
, 证明
. 并举例说明: 如果数列{|xn|}有极限, 但数列{xn}未必有极限.
题目解答
答案
证明 因为, 所以∀ε>0, ∃N∈N, 当n>N时, 有
, 从而
||un|-|a||≤|un-a|<ε .
这就证明了
.
数列{|xn|}有极限, 但数列{xn}未必有极限. 例如
, 但
不存在.
解析
步骤 1：利用极限的定义
根据极限的定义，如果$\lim _{n\rightarrow \infty }{u}_{n}=a$，则对于任意的$\varepsilon >0$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，有$|{u}_{n}-a|<\varepsilon$。
步骤 2：利用三角不等式
利用三角不等式$||x|-|y||\leq |x-y|$，我们可以得到$||{u}_{n}|-|a||\leq |{u}_{n}-a|$。因此，当$n>N$时，有$||{u}_{n}|-|a||\leq |{u}_{n}-a|<\varepsilon$。
步骤 3：证明$\lim _{n\rightarrow \infty }|{u}_{n}|=|a|$
根据步骤2，对于任意的$\varepsilon >0$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，有$||{u}_{n}|-|a||<\varepsilon$。这表明$\lim _{n\rightarrow \infty }|{u}_{n}|=|a|$。
步骤 4：举例说明
考虑数列${(-1)^n}$，其绝对值数列$|{(-1)^n}|$的极限为1，但数列${(-1)^n}$本身没有极限，因为它的值在-1和1之间交替变化，没有收敛到一个特定的值。
根据极限的定义，如果$\lim _{n\rightarrow \infty }{u}_{n}=a$，则对于任意的$\varepsilon >0$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，有$|{u}_{n}-a|<\varepsilon$。
步骤 2：利用三角不等式
利用三角不等式$||x|-|y||\leq |x-y|$，我们可以得到$||{u}_{n}|-|a||\leq |{u}_{n}-a|$。因此，当$n>N$时，有$||{u}_{n}|-|a||\leq |{u}_{n}-a|<\varepsilon$。
步骤 3：证明$\lim _{n\rightarrow \infty }|{u}_{n}|=|a|$
根据步骤2，对于任意的$\varepsilon >0$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，有$||{u}_{n}|-|a||<\varepsilon$。这表明$\lim _{n\rightarrow \infty }|{u}_{n}|=|a|$。
步骤 4：举例说明
考虑数列${(-1)^n}$，其绝对值数列$|{(-1)^n}|$的极限为1，但数列${(-1)^n}$本身没有极限，因为它的值在-1和1之间交替变化，没有收敛到一个特定的值。