lim _(xarrow 0)dfrac (x{int )_(0)^x((e)^2t-1)dt}(ln (1+{x)^3)}。

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及积分与对数函数的结合，需要灵活运用等价无穷小替换和洛必达法则。

解题核心思路：

1. 分母处理：当$x \rightarrow 0$时，$\ln(1+x^3) \sim x^3$，简化分母。
2. 分子处理：将积分$\int_0^x (e^{2t}-1)dt$与$x$相乘后，通过洛必达法则转化为更简单的表达式。
3. 极限计算：通过两次应用洛必达法则，逐步化简最终求得极限值。

破题关键点：

• 等价无穷小替换简化分母。
• 积分求导的转换（积分上限函数的导数即为被积函数）。
• 泰勒展开辅助验证中间步骤的合理性。

步骤1：简化分母

当$x \rightarrow 0$时，$\ln(1+x^3) \sim x^3$，因此原式可化简为：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x{\int }_{0}^{x}({e}^{2t}-1)dt}{x^3} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{\int }_{0}^{x}({e}^{2t}-1)dt}{x^2}.$

步骤2：应用洛必达法则

此时分子$\int_0^x (e^{2t}-1)dt$和分母$x^2$均趋近于0，满足0/0型不定式，对分子和分母分别求导：

• 分子导数：$\dfrac{d}{dx} \int_0^x (e^{2t}-1)dt = e^{2x} - 1$；
• 分母导数：$\dfrac{d}{dx} x^2 = 2x$。

因此极限变为：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {e^{2x} - 1}{2x}.$

步骤3：再次应用洛必达法则

此时分子$e^{2x} - 1$和分母$2x$仍满足0/0型不定式，再次求导：

• 分子导数：$\dfrac{d}{dx} (e^{2x} - 1) = 2e^{2x}$；
• 分母导数：$\dfrac{d}{dx} (2x) = 2$。

因此极限变为：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2e^{2x}}{2} = \lim _{x\rightarrow 0} e^{2x} = 1.$