设 f(z) = x^2 + iy^2，则 f'(1+i) = （ ）A. 2B. 2iC. 1+iD. 2+2i

我们来逐步分析题目：

题目给出一个复变函数：

$f(z) = x^2 + i y^2$

其中 $ z = x + i y $，即 $ x = \operatorname{Re}(z) $，$ y = \operatorname{Im}(z) $。

我们要计算的是 $ f'(1+i) $，也就是函数在点 $ z = 1+i $ 处的导数。

第一步：理解复变函数的可导性

在复分析中，一个函数 $ f(z) $ 在某点可导（解析），需要满足 Cauchy-Riemann 方程，并且偏导数连续。

我们先把 $ f(z) $ 写成实部和虚部的形式。

已知：
$f(z) = x^2 + i y^2$

所以可以写成：
$f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$
其中：

• $ u(x, y) = x^2 $
• $ v(x, y) = y^2 $

第二步：检查 Cauchy-Riemann 方程

Cauchy-Riemann 方程为：
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

我们计算各个偏导数：

• $ \frac{\partial u}{\partial x} = 2x $
• $ \frac{\partial u}{\partial y} = 0 $
• $ \frac{\partial v}{\partial x} = 0 $
• $ \frac{\partial v}{\partial y} = 2y $

代入 C-R 方程：

1. $ 2x = 2y $ ⟹ $ x = y $
2. $ 0 = -0 $ ⟹ 恒成立

所以，Cauchy-Riemann 方程只在 $ x = y $ 上成立，即在直线 $ \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Im}(z) $ 上成立。

而我们要计算的是 $ f'(1+i) $，此时 $ z = 1+i $，即 $ x = 1, y = 1 $，满足 $ x = y $，所以在该点 可能可导。

但注意：即使 C-R 方程在一点成立，也不能保证函数在该点可导，还需要函数在该点可微（通常要求偏导数连续，这里满足，因为都是多项式）。

由于 $ u $ 和 $ v $ 的偏导数都是连续的，且在 $ (1,1) $ 满足 C-R 方程，因此 $ f(z) $ 在 $ z = 1+i $ 处是可导的。

第三步：计算导数 $ f'(z) $

在复变函数中，如果函数可导，则导数可以由下式计算：

$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}$

我们使用第一个公式：

$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = 2x + i \cdot 0 = 2x$

或者用另一个形式：

$f'(z) = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y} = 2y - i \cdot 0 = 2y$

但注意！这两个结果分别是 $ 2x $ 和 $ 2y $，只有当 $ x = y $ 时它们才相等，这正是 C-R 方程成立的条件。

所以在满足 $ x = y $ 的点上，$ f'(z) = 2x = 2y $。

在 $ z = 1+i $ 处，$ x = 1, y = 1 $，所以：

$f'(1+i) = 2x = 2 \times 1 = 2$

答案：

$\boxed{A. \ 2}$

补充说明：

虽然函数 $ f(z) = x^2 + i y^2 $ 看起来像“类似 $ z^2 $”，但它不是解析函数，只在直线 $ x = y $ 上满足 C-R 方程，因此仅在这些点上可能可导，整体不解析。

但在 $ z = 1+i $ 处满足条件，导数存在，且值为 2。

✅ 最终答案：$ \boxed{A} $