题目

20. (本题满分12分) 设函数f(x)在区间(a,b)内可导. 证明：导函数f'(x)在(a,b)内严格单调增加的充分必要条件是： 对(a,b)内任意的x_(1),x_(2),x_(3),当x_(1),x_(2),x_(3)时，(f(x_(2))-f(x_(1)))/(x_(2)-x_{1)}<(f(x_(3))-f(x_(2)))/(x_(3)-x_{2)}.

20. (本题满分12分) 设函数f(x)在区间(a,b)内可导. 证明：导函数f'(x)在(a,b)内严格单调增加的充分必要条件是： 对(a,b)内任意的$x_{1},x_{2},x_{3},$当$x_{1},x_{2},x_{3}$时，$\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}<\frac{f(x_{3})-f(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}.$

题目解答

答案

**必要性：** 假设 $ f'(x) $ 在 $(a, b)$ 内严格单调增加。对任意 $ x_1 < x_2 < x_3 $，由拉格朗日中值定理，存在 $ \xi_1 \in (x_1, x_2) $ 和 $ \xi_2 \in (x_2, x_3) $，使得 \[ \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(\xi_1), \quad \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2} = f'(\xi_2). \] 由于 $ f'(x) $ 严格单调增加且 $ \xi_1 < \xi_2 $，故 $ f'(\xi_1) < f'(\xi_2) $，即 \[ \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} < \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}. \] **充分性：** 假设对任意 $ x_1 < x_2 < x_3 $，有 \[ \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} < \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}. \] 对任意 $ x_1 < x_2 $，取 $ x_3 $ 使得 $ x_1 < x_2 < x_3 $，则 \[ \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} < \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2} \xrightarrow{x_3 \to x_2^+} f'(x_2). \] 令 $ x_1 \to x_2^- $，得 \[ f'(x_1) \leq \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} < f'(x_2), \] 即 $ f'(x_1) < f'(x_2) $，故 $ f'(x) $ 严格单调增加。 **答案：** \[ \boxed{\text{导函数 } f'(x) \text{ 在 } (a, b) \text{ 内严格单调增加的充分必要条件是：对于 } (a, b) \text{ 内任意的 } x_1, x_2, x_3, \text{ 当 } x_1 < x_2 < x_3 \text{ 时，有 } \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} < \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}.} \]

解析

本题考察导函数严格单调增加的充分必要条件，核心是利用拉格朗日中值定理及极限性质进行证明，具体思路如下：

必要性证明（导函数严格单调增加⇒不等式成立）

步骤1：应用拉格朗日中值定理
若$f'(x)$在$(a,b)$内严格单调增加，对任意$x_1 < x_2 < x_3$，在区间$(x_1,x_2)$和$(x_2,x_3)$上分别应用拉格朗日中值定理：
存在$\xi_1 \in (x_1,x_2)$和$\xi_2 \in (x_2,x_3)$，使得
$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(\xi_1),\quad \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}=f'(\xi_2).$

步骤2：利用严格单调增加性质
由于$\xi_1 < \xi_2$且$f'(x)$严格单调增加，故$f'(\xi_1) < f'(\xi_2)$，即
$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} < \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}.$

充分性证明（不等式成立⇒导函数严格单调增加）

步骤1：固定$x_1 < x_2$，取$x_3 > x_2$并取极限
对任意$x_1 < x_2$，取$x_3 > x_2$，由条件得
$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} < \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}.$
令$x_3 \to x_2^+$，右侧极限为$f'(x_2)$（导数定义），故
$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \leq f'(x_2).$

步骤2：令$x_1 \to x_2^-$，比较$f'(x_1)$与$f'(x_2)$
再令$x_1 \to x_2^-$，左侧极限为$f'(x_2)$（导数定义），但不等式严格成立，故
$f'(x_1) < f'(x_2).$
对任意$x_1 < x_2$均成立，因此$f'(x)$在$(a,b)$内严格单调增加。