设=(e)^x(sin x+cos x)，求y'(0)

考查要点：本题主要考查乘积法则的应用，以及基本导数公式的运用，包括指数函数和三角函数的导数。

解题核心思路：

1. 识别函数结构：题目中的函数是两个函数的乘积，即$e^x$与$\sin x + \cos x$。
2. 应用乘积法则：对乘积形式的函数求导，需分别求出两个因子的导数，再按公式组合。
3. 化简表达式：合并同类项后，进一步代入$x=0$计算具体值。

破题关键点：

• 正确应用乘积法则，避免漏项或符号错误。
• 准确计算$\sin x$和$\cos x$的导数，注意符号变化。
• 代入$x=0$时，注意$e^0=1$和$\cos 0=1$的简化。

步骤1：应用乘积法则
设$y = e^x \cdot (\sin x + \cos x)$，根据乘积法则：
$y' = (e^x)' \cdot (\sin x + \cos x) + e^x \cdot (\sin x + \cos x)'$

步骤2：分别求导

1. 第一项导数：$(e^x)' = e^x$
2. 第二项导数：
   $(\sin x + \cos x)' = \cos x - \sin x$

步骤3：代入并展开
将导数代入乘积法则公式：
$y' = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x)$

步骤4：合并同类项
展开后：
$y' = e^x \sin x + e^x \cos x + e^x \cos x - e^x \sin x$
$\sin x$项抵消，$\cos x$项合并：
$y' = 2e^x \cos x$

步骤5：代入$x=0$
$y'(0) = 2e^0 \cos 0 = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$