设 A 为 n 阶方阵，则（ ）不成立A. 若 A 可逆，而矩阵 A 的属于特征值 lambda 的特征向量也是矩阵 A^-1 属于特征值 (1)/(lambda) 的特征向量B. A 的全部特征向量即为方程 (AI - A)x = 0 的全部解C. 若 A 存在属于特征值 lambda 的 n 个线性无关的特征向量，则 A = lambda ID. A 与 A^T 有相同的特征值
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则（ ）不成立 A. 若 $A$ 可逆，而矩阵 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量也是矩阵 $A^{-1}$ 属于特征值 $\frac{1}{\lambda}$ 的特征向量 B. $A$ 的全部特征向量即为方程 $(AI - A)x = 0$ 的全部解 C. 若 $A$ 存在属于特征值 $\lambda$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量，则 $A = \lambda I$ D. $A$ 与 $A^T$ 有相同的特征值
题目解答
答案
我们来逐项分析这道题目的四个选项，判断哪一个不成立。题目是：
> 设 $ A $ 为 $ n $ 阶方阵，则（ ）不成立。
选项 A：
> 若 $ A $ 可逆，而矩阵 $ A $ 的属于特征值 $ \lambda $ 的特征向量也是矩阵 $ A^{-1} $ 属于特征值 $ \frac{1}{\lambda} $ 的特征向量。
分析：
设 $ A $ 可逆，$ \lambda $ 是 $ A $ 的一个特征值，对应的特征向量为 $ x \neq 0 $，即：
$A x = \lambda x$
由于 $ A $ 可逆，所以 $ \lambda \neq 0 $。对上式两边左乘 $ A^{-1} $：
$A^{-1} A x = A^{-1} (\lambda x) \Rightarrow x = \lambda A^{-1} x \Rightarrow A^{-1} x = \frac{1}{\lambda} x$
这说明 $ x $ 也是 $ A^{-1} $ 的属于特征值 $ \frac{1}{\lambda} $ 的特征向量。
结论：A 成立。
选项 B：
> $ A $ 的全部特征向量即为方程 $ (A I - A)x = 0 $ 的全部解。
分析：
我们先看这个方程：$ (A I - A)x = 0 $
注意：$ A I $ 就是 $ A \cdot I = A $，所以 $ A I - A = A - A = 0 $ 矩阵。
因此，方程变为：
$0 \cdot x = 0$
这个方程的解是所有 $ x \in \mathbb{R}^n $（或 $ \mathbb{C}^n $），即整个空间。
但特征向量是满足 $ A x = \lambda x $ 的非零向量，对某个特征值 $ \lambda $，即满足 $ (A - \lambda I)x = 0 $ 的非零解。
而这里方程 $ (AI - A)x = 0 $ 实际上是 $ 0x = 0 $，解空间是整个空间，包含了所有向量，包括零向量和非特征向量。
但特征向量只是其中某些特定方向的向量，而且不包括零向量（特征向量定义为非零向量）。
所以这个说法是错误的。
更进一步，正确的特征方程应为 $ (A - \lambda I)x = 0 $，对某个 $ \lambda $，而不是 $ (AI - A)x = 0 $。
而且，题目中写的是 $ (AI - A)x = 0 $，这表达式本身就奇怪：$ AI $ 是 $ A $，所以 $ AI - A = 0 $。
结论：B 不成立。
选项 C：
> 若 $ A $ 存在属于特征值 $ \lambda $ 的 $ n $ 个线性无关的特征向量，则 $ A = \lambda I $
分析：
设 $ A $ 有 $ n $ 个线性无关的特征向量，都属于同一个特征值 $ \lambda $。
由于这 $ n $ 个向量线性无关，且是 $ n $ 维向量，它们构成 $ \mathbb{R}^n $（或 $ \mathbb{C}^n $）的一组基。
设这些向量为 $ v_1, v_2, \dots, v_n $，满足 $ A v_i = \lambda v_i $。
任意向量 $ x $ 都可以表示为这些向量的线性组合：
$x = c_1 v_1 + \cdots + c_n v_n \Rightarrow A x = c_1 A v_1 + \cdots + c_n A v_n = c_1 \lambda v_1 + \cdots + c_n \lambda v_n = \lambda x$
所以对所有 $ x $，有 $ A x = \lambda x $，即 $ A = \lambda I $。
结论：C 成立。
选项 D：
> $ A $ 与 $ A^T $ 有相同的特征值
分析：
矩阵 $ A $ 的特征值由特征多项式 $ \det(A - \lambda I) = 0 $ 决定。
而 $ \det(A^T - \lambda I) = \det((A - \lambda I)^T) = \det(A - \lambda I) $
所以 $ A $ 与 $ A^T $ 有相同的特征多项式，因此有相同的特征值。
虽然它们的特征向量一般不同，但特征值相同。
结论：D 成立。
最终结论：
四个选项中，只有 B 不成立。
答案：
$\boxed{B}$
解析
本题主要考察矩阵特征值与特征向量的基本性质，需逐项分析各选项是否成立。
选项A分析
若$A$可逆，$\lambda$是$A$的特征值，$x\neq0$是对应的特征向量，则：
$Ax=\lambda x$
因$A$可逆，$\lambda\neq0$，两边左乘$A^{-1}$：
$A^{-1}Ax=A^{-1}(\lambda x)\implies x=\lambda A^{-1}x\implies A^{-1}x=\frac{1}{\lambda}x$
故$x$也是$A^{-1}$属于$\frac{1}{\lambda}$的特征向量。A成立。
选项B分析
方程$(AI - A)x=0$中，$AI=A$，故$AI - A=0$（零矩阵），方程退化为$0x=0$，解空间是整个$n$维空间（包含零向量和所有非特征向量）。而特征向量是满足$Ax=\lambda x$的非零向量，仅为特定解，并非全部解。B不成立。
选项C分析
若$A$有$n$个线性无关的特征向量均属于$\lambda$，则这些向量构成$n$维空间的一组基。对任意$x=c_1v_1+\cdots+c_nv_n$：
$Ax=c_1Av_1+\cdots+c_nAv_n=\lambda(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)=\lambda x$
故$A=\lambda I$。C成立。
选项D分析
矩阵特征值由特征多项式决定：
$\det(A^T-\lambda I)=\det((A-\lambda I)^T)=\det(A-\lambda I)$
故$A$与$A^T$特征多项式相同，特征值相同。D成立。