题目

求下列函数的定义域。(1) y = ln(2 + x)(2) y = arccos(x - 2)(3) y = sqrt(2 - x^2) + arcsin x(4) y = lg (x)/(x+2) + arccos (x)/(5)

求下列函数的定义域。

(1) $y = \ln(2 + x)$

(2) $y = \arccos(x - 2)$

(3) $y = \sqrt{2 - x^2} + \arcsin x$

(4) $y = \lg \frac{x}{x+2} + \arccos \frac{x}{5}$

题目解答

答案

(1) 对于 $ y = \ln(2 + x) $，需 $ 2 + x > 0 $，解得 $ x > -2 $。
定义域： $ (-2, +\infty) $

(2) 对于 $ y = \arccos(x - 2) $，需 $ -1 \leq x - 2 \leq 1 $，解得 $ 1 \leq x \leq 3 $。
定义域： $ [1, 3] $

(3) 对于 $ y = \sqrt{2 - x^2} + \arcsin x $，需 $ 2 - x^2 \geq 0 $ 且 $ -1 \leq x \leq 1 $，解得 $ -1 \leq x \leq 1 $。
定义域： $ [-1, 1] $

(4) 对于 $ y = \lg \frac{x}{x + 2} + \arccos \frac{x}{5} $，需 $ \frac{x}{x + 2} > 0 $ 且 $ -1 \leq \frac{x}{5} \leq 1 $，解得 $ -5 \leq x < -2 $ 或 $ 0 < x \leq 5 $。
定义域： $ [-5, -2) \cup (0, 5] $

$\boxed{\begin{array}{ccccc}\text{(1) } (-2, +\infty) \\\text{(2) } [1, 3] \\\text{(3) } [-1, 1] \\\text{(4) } [-5, -2) \cup (0, 5]\end{array}}$

解析

本题主要考查不同类型函数定义域的求解，需要根据对数函数、反余弦函数、根式函数以及反正弦函数的性质来确定自变量的取值范围。

(1) 求函数 $y = \ln(2 + x)$ 的定义域

  • 对于对数函数 $y = \ln u$，其定义域要求真数 $u>0$。
  • 在函数 $y = \ln(2 + x)$ 中，令 $u = 2 + x$，则需满足 $2 + x>0$。
  • 解不等式 $2 + x>0$，移项可得 $x > -2$。
  • 所以函数 $y = \ln(2 + x)$ 的定义域为 $(-2, +\infty)$。

(2) 求函数 $y = \arccos(x - 2)$ 的定义域

  • 对于反余弦函数 $y = \arccos u$，其定义域要求 $-1\leq u\leq 1$。
  • 在函数 $y = \arccos(x - 2)$ 中，令 $u = x - 2$，则需满足 $-1\leq x - 2\leq 1$。
  • 解不等式 $-1\leq x - 2\leq 1$：
    • 先解 $x - 2\geq -1$，移项可得 $x\geq -1 + 2$，即 $x\geq 1$。
    • 再解 $x - 2\leq 1$，移项可得 $x\leq 1 + 2$，即 $x\leq 3$。
  • 综合可得 $1\leq x\leq 3$，所以函数 $y = \arccos(x - 2)$ 的定义域为 $[1, 3]$。

(3) 求函数 $y = \sqrt{2 - x^2} + \arcsin x$ 的定义域

  • 对于根式函数 $y = \sqrt{u}$，其定义域要求 $u\geq 0$；对于反正弦函数 $y = \arcsin u$，其定义域要求 $-1\leq u\leq 1$。
  • 在函数 $y = \sqrt{2 - x^2} + \arcsin x$ 中，令 $u_1 = 2 - x^2$，$u_2 = x$，则需满足 $\begin{cases}2 - x^2\geq 0\\-1\leq x\leq 1\end{cases}$。
  • 解不等式 $2 - x^2\geq 0$：
    • 移项可得 $x^2 - 2\leq 0$，因式分解为 $(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2})\leq 0$。
    • 则其解为 $-\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}$。
  • 结合 $-1\leq x\leq 1$，取交集可得 $-1\leq x\leq 1$。
  • 所以函数 $y = \sqrt{2 - x^2} + \arcsin x$ 的定义域为 $[-1, 1]$。

(4) 求函数 $y = \lg \frac{x}{x + 2} + \arccos \frac{x}{5}$ 的定义域

  • 对于对数函数 $y = \lg u$，其定义域要求真数 $u>0$；对于反余弦函数 $y = \arccos u$，其定义域要求 $-1\leq u\leq 1$。
  • 在函数 $y = \lg \frac{x}{x + 2} + \arccos \frac{x}{5}$ 中，令 $u_1 = \frac{x}{x + 2}$，$u_2 = \frac{x}{5}$，则需满足 $\begin{cases}\frac{x}{x + 2}>0\\-1\leq \frac{x}{5}\leq 1\end{cases}$。
  • 解不等式 $\frac{x}{x + 2}>0$：
    • 则分子分母需同号，即 $\begin{cases}x>0\\x + 2>0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x<0\\x + 2<0\end{cases}$。
    • 解 $\begin{cases}x>0\\x + 2>0\end{cases}$，可得 $x>0$；解 $\begin{cases}x<0\\x + 2<0\end{cases}$，可得 $x<-2$。
    • 所以不等式 $\frac{x}{x + 2}>0$ 的解为 $x<-2$ 或 $x>0$。
  • 解不等式 $-1\leq \frac{x}{5}\leq 1$：
    • 不等式两边同时乘以 $5$，可得 $-5\leq x\leq 5$。
  • 综合两个不等式的解，取交集可得 $-5\leq x < -2$ 或 $0 < x\leq 5$。
  • 所以函数 $y = \lg \frac{x}{x + 2} + \arccos \frac{x}{5}$ 的定义域为 $[-5, -2) \cup (0, 5]$。