题目
8 (2023山东高数三)已知函数f(x)=}ae^x-1,&x>1,b,&x=1,x^2+ax-b,&x<1在x=1处连续，求实数a,b.
8 (2023山东高数三)已知函数$f(x)=\begin{cases}ae^{x-1},&x>1,\\b,&x=1,\\x^{2}+ax-b,&x<1\end{cases}$在x=1处连续，求实数a,b.
题目解答
答案
函数 $ f(x) $ 在 $ x=1 $ 处连续，需满足：
\[
\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x).
\]
计算得：
\[
\lim_{x \to 1^+} f(x) = ae^{1-1} = a, \quad f(1) = b, \quad \lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + a - b.
\]
由连续条件得：
\[
a = b = 1 + a - b.
\]
解方程组：
\[
\begin{cases}
a = b, \\
b = 1 + a - b,
\end{cases}
\]
得：
\[
a = b = 1.
\]
**答案：** $ \boxed{a = 1, b = 1} $
解析
考查要点：本题主要考查函数在某点连续的条件，即左极限、右极限与该点函数值相等。
解题思路：
- 明确连续条件：函数在$x=1$处连续需满足$\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x)$。
- 分段计算极限：分别求出右极限、左极限和$f(1)$的表达式。
- 联立方程求解：根据连续条件建立方程组，解出$a$和$b$的值。
关键点：
- 右极限由$x>1$的表达式$ae^{x-1}$在$x=1$处的值确定。
- 左极限由$x<1$的表达式$x^2 + ax - b$在$x=1$处的值确定。
- 函数值$f(1)$直接给出为$b$。
步骤1：计算右极限
当$x \to 1^+$时，$f(x) = ae^{x-1}$，代入$x=1$得：
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = ae^{1-1} = a \cdot e^0 = a.$
步骤2：确定函数值$f(1)$
根据题意，$f(1) = b$。
步骤3：计算左极限
当$x \to 1^-$时，$f(x) = x^2 + ax - b$，代入$x=1$得：
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 + a \cdot 1 - b = 1 + a - b.$
步骤4：建立方程组
根据连续条件$\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x)$，得：
$\begin{cases}a = b, \\b = 1 + a - b.\end{cases}$
步骤5：解方程组
将$a = b$代入第二个方程：
$b = 1 + b - b \implies b = 1.$
因此，$a = b = 1$。