题目
若tanθ=-2，则(sinθ（1+sin2θ）)/(sinθ+cosθ)=（ ）A. -(6)/(5)B. -(2)/(5)C. (2)/(5)D. (6)/(5)
若tanθ=-2，则$\frac{sinθ（1+sin2θ）}{sinθ+cosθ}$=（ ）
A. -$\frac{6}{5}$
B. -$\frac{2}{5}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{6}{5}$
题目解答
答案
C. $\frac{2}{5}$
解析
步骤 1：化简分子
根据三角恒等式，$sin2θ = 2sinθcosθ$，所以分子可以写为$sinθ(1 + 2sinθcosθ)$。
步骤 2：化简整个表达式
将分子和分母都用$sinθ$和$cosθ$表示，得到$\frac{sinθ(1 + 2sinθcosθ)}{sinθ + cosθ}$。
步骤 3：提取公因式
分子可以提取$sinθ$，得到$sinθ(1 + 2sinθcosθ) = sinθ(sinθ + cosθ)^2$。
步骤 4：化简表达式
将提取公因式后的表达式代入原式，得到$\frac{sinθ(sinθ + cosθ)^2}{sinθ + cosθ} = sinθ(sinθ + cosθ)$。
步骤 5：用$tanθ$表示
将$sinθ$和$cosθ$用$tanθ$表示，得到$\frac{sin^2θ + sinθcosθ}{sin^2θ + cos^2θ} = \frac{tan^2θ + tanθ}{1 + tan^2θ}$。
步骤 6：代入$tanθ = -2$
将$tanθ = -2$代入上式，得到$\frac{(-2)^2 + (-2)}{1 + (-2)^2} = \frac{4 - 2}{1 + 4} = \frac{2}{5}$。
根据三角恒等式，$sin2θ = 2sinθcosθ$，所以分子可以写为$sinθ(1 + 2sinθcosθ)$。
步骤 2：化简整个表达式
将分子和分母都用$sinθ$和$cosθ$表示，得到$\frac{sinθ(1 + 2sinθcosθ)}{sinθ + cosθ}$。
步骤 3：提取公因式
分子可以提取$sinθ$，得到$sinθ(1 + 2sinθcosθ) = sinθ(sinθ + cosθ)^2$。
步骤 4：化简表达式
将提取公因式后的表达式代入原式，得到$\frac{sinθ(sinθ + cosθ)^2}{sinθ + cosθ} = sinθ(sinθ + cosθ)$。
步骤 5：用$tanθ$表示
将$sinθ$和$cosθ$用$tanθ$表示，得到$\frac{sin^2θ + sinθcosθ}{sin^2θ + cos^2θ} = \frac{tan^2θ + tanθ}{1 + tan^2θ}$。
步骤 6：代入$tanθ = -2$
将$tanθ = -2$代入上式，得到$\frac{(-2)^2 + (-2)}{1 + (-2)^2} = \frac{4 - 2}{1 + 4} = \frac{2}{5}$。