5.设由方程 ^3+3y-(x)^2+2x=0 确定y是x的函数,求 dfrac (dy)(dx),dfrac (dy)(dx)(|)_(x=0cdot ).

考查要点：本题主要考查隐函数求导法的应用，以及如何在特定点求导数值。

解题核心思路：

1. 隐函数求导：对原方程两边同时关于$x$求导，利用链式法则处理含$y$的项。
2. 整理表达式：将含有$\dfrac{dy}{dx}$的项合并，解出$\dfrac{dy}{dx}$的表达式。
3. 代入求值：在$x=0$时，先通过原方程求出对应的$y$值，再代入导数表达式计算。

破题关键点：

• 正确应用链式法则，尤其注意$y$是$x$的函数。
• 代数整理时，确保符号和系数正确。
• 验证解的合理性，如排除非实数解。

步骤1：对原方程两边关于$x$求导
原方程：
$y^3 + 3y - x^2 + 2x = 0$
对$x$求导，逐项处理：

• $y^3$的导数为$3y^2 \cdot \dfrac{dy}{dx}$（链式法则）。
• $3y$的导数为$3 \cdot \dfrac{dy}{dx}$。
• $-x^2$的导数为$-2x$。
• $2x$的导数为$2$。

整理得：
$3y^2 \dfrac{dy}{dx} + 3 \dfrac{dy}{dx} - 2x + 2 = 0$

步骤2：解出$\dfrac{dy}{dx}$
将含$\dfrac{dy}{dx}$的项合并：
$\dfrac{dy}{dx} (3y^2 + 3) = 2x - 2$
解得：
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x - 2}{3y^2 + 3} = \dfrac{2(x - 1)}{3(y^2 + 1)}$

步骤3：求$x=0$处的导数值

1. 代入原方程求$y$值：
   当$x=0$时，原方程变为：
   $y^3 + 3y = 0 \implies y(y^2 + 3) = 0$
   实数解为$y=0$（因$y^2 + 3 = 0$无实数解）。

2. 代入导数表达式：
   $\dfrac{dy}{dx} \Big|_{x=0} = \dfrac{2(0 - 1)}{3(0^2 + 1)} = \dfrac{-2}{3} = -\dfrac{2}{3}$