题目
设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间(0,3)上的均匀分布，则 min(x,Y)geqslant 2 =__________。
设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间(0,3)上的均匀分布，则
__________。
题目解答
答案
由于X,Y的最小值都大于等于2，因此X,Y当中任意一个数都大于等于2。所以
由于随机事件X与Y相互独立。根据相互独立的积事件的概率计算公式P(AB)=P(A)P(B)(AB2事件同时发生的概率等于A事件发生的概率乘以B事件发生的概率)所以
由于X,Y均服从均匀分布(X~U(a,b))。根据均匀分布概率计算公式
所以
所以
解析
步骤 1：理解问题
题目要求我们计算两个独立的均匀分布随机变量X和Y的最小值大于等于2的概率。由于X和Y相互独立，我们可以利用独立事件的概率乘法规则来计算。
步骤 2：计算单个变量的概率
由于X和Y均服从区间(0,3)上的均匀分布，我们可以计算出$P(X\geqslant 2)$和$P(Y\geqslant 2)$。对于均匀分布，概率等于区间长度除以总区间长度。因此，$P(X\geqslant 2)=\dfrac{3-2}{3-0}=\dfrac{1}{3}$，$P(Y\geqslant 2)=\dfrac{3-2}{3-0}=\dfrac{1}{3}$。
步骤 3：计算联合概率
由于X和Y相互独立，$P\{ min(X,Y)\geqslant 2\} =P\{ X\geqslant 2,Y\geqslant 2\} =P(X\geqslant 2)P(Y\geqslant 2)$。将步骤2中计算出的概率代入，得到$P\{ min(X,Y)\geqslant 2\} =\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}$。
题目要求我们计算两个独立的均匀分布随机变量X和Y的最小值大于等于2的概率。由于X和Y相互独立，我们可以利用独立事件的概率乘法规则来计算。
步骤 2：计算单个变量的概率
由于X和Y均服从区间(0,3)上的均匀分布，我们可以计算出$P(X\geqslant 2)$和$P(Y\geqslant 2)$。对于均匀分布，概率等于区间长度除以总区间长度。因此，$P(X\geqslant 2)=\dfrac{3-2}{3-0}=\dfrac{1}{3}$，$P(Y\geqslant 2)=\dfrac{3-2}{3-0}=\dfrac{1}{3}$。
步骤 3：计算联合概率
由于X和Y相互独立，$P\{ min(X,Y)\geqslant 2\} =P\{ X\geqslant 2,Y\geqslant 2\} =P(X\geqslant 2)P(Y\geqslant 2)$。将步骤2中计算出的概率代入，得到$P\{ min(X,Y)\geqslant 2\} =\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}$。