题目
已知向量组alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)线性无关，证明：alpha_(1)+2alpha_(2),2alpha_(1)+3alpha_(3),3alpha_(3)+alpha_(1)线性无关。
已知向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性无关，证明：$\alpha_{1}+2\alpha_{2},2\alpha_{1}+3\alpha_{3},3\alpha_{3}+\alpha_{1}$线性无关。
题目解答
答案
为了证明向量组$\alpha_1 + 2\alpha_2, 2\alpha_1 + 3\alpha_3, 3\alpha_3 + \alpha_1$线性无关，我们需要证明唯一满足以下方程的标量$a, b, c$是$a = b = c = 0$：
\[a(\alpha_1 + 2\alpha_2) + b(2\alpha_1 + 3\alpha_3) + c(3\alpha_3 + \alpha_1) = 0.\]
首先，我们合并同类项：
\[a\alpha_1 + 2a\alpha_2 + 2b\alpha_1 + 3b\alpha_3 + 3c\alpha_3 + c\alpha_1 = 0.\]
这可以重写为：
\[(a + 2b + c)\alpha_1 + 2a\alpha_2 + (3b + 3c)\alpha_3 = 0.\]
由于$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的系数必须各自为零。因此，我们有以下方程组：
\[a + 2b + c = 0,\]
\[2a = 0,\]
\[3b + 3c = 0.\]
从第二个方程，我们得到$a = 0$。将$a = 0$代入第一个和第三个方程，我们得到：
\[2b + c = 0,\]
\[3b + 3c = 0.\]
第三个方程可以简化为：
\[b + c = 0.\]
现在我们有方程组：
\[2b + c = 0,\]
\[b + c = 0.\]
从第一个方程减去第二个方程，我们得到：
\[b = 0.\]
将$b = 0$代入$b + c = 0$，我们得到：
\[c = 0.\]
因此，唯一满足方程的解是$a = 0, b = 0, c = 0$。因此，向量组$\alpha_1 + 2\alpha_2, 2\alpha_1 + 3\alpha_3, 3\alpha_3 + \alpha_1$线性无关。
最终答案是：
\[\boxed{\text{线性无关}}.\]
解析
考查要点：本题主要考查向量组线性无关性的证明方法，需要利用线性组合的系数唯一性进行推导。
解题核心思路：假设存在线性组合等于零向量，通过展开并整理系数，结合原向量组的线性无关性，建立方程组求解系数是否全为零。
破题关键点：
- 线性无关定义：若唯一使得线性组合为零的系数是全零，则向量组线性无关。
- 系数分离：将新向量组的线性组合展开，按原向量$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$整理系数，利用其线性无关性得到方程组。
- 方程组求解：通过代数运算逐步消元，证明唯一解为$a = b = c = 0$。
步骤1：假设线性组合为零
设存在标量$a, b, c$，使得：
$a(\alpha_1 + 2\alpha_2) + b(2\alpha_1 + 3\alpha_3) + c(3\alpha_3 + \alpha_1) = 0.$
步骤2：展开并整理同类项
展开后合并$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的系数：
$(a + 2b + c)\alpha_1 + 2a\alpha_2 + (3b + 3c)\alpha_3 = 0.$
步骤3：利用原向量组的线性无关性
由于$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关，其系数必须全为零：
$\begin{cases}a + 2b + c = 0, \\2a = 0, \\3b + 3c = 0.\end{cases}$
步骤4：解方程组
- 从第二式得：$2a = 0 \implies a = 0$。
- 代入第一式：$0 + 2b + c = 0 \implies 2b + c = 0$。
- 第三式化简：$3b + 3c = 0 \implies b + c = 0$。
- 联立：
- $2b + c = 0$
- $b + c = 0$
- 相减得：$b = 0$，代入得$c = 0$。
结论：唯一解为$a = b = c = 0$，故新向量组线性无关。