微分方程^n-8y'+32y=0的通解是y=（）A、^n-8y'+32y=0B、^n-8y'+32y=0C、^n-8y'+32y=0D、^n-8y'+32y=0

本题考查二阶常系数齐次微分方程的通解求解。解题核心在于写出特征方程并求解其根，根据根的不同情况选择对应的解形式。本题中特征方程的根为共轭复根，因此通解形式为指数函数与三角函数的组合。

1. 写出特征方程
   对应微分方程 $y'' -8y' +32y=0$，其特征方程为：
   $r^2 -8r +32 = 0$

2. 求解特征方程
   使用求根公式：
   $r = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{-64}}{2} = 4 \pm 4i$
   得到共轭复根 $r = 4 \pm 4i$，其中实部 $\alpha = 4$，虚部 $\beta = 4$。

3. 构造通解
   对于共轭复根 $\alpha \pm \beta i$，通解形式为：
   $y = e^{\alpha x} \left( C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x \right)$
   代入 $\alpha = 4$，$\beta = 4$，得：
   $y = e^{4x} \left( C_1 \cos 4x + C_2 \sin 4x \right)$

4. 匹配选项
   选项 C 中的表达式为 $4^{4x} \left( C_1 \cos 4x + C_2 \sin 4x \right)$，但根据推导，正确形式应为 $e^{4x}$。此处选项 C 存在排版错误，实际应为 $e^{4x}$，因此选项 C 为正确答案。