题目
设a＞b＞0，证明：(a-b)/(a)＜ln(a)/(b)＜(a-b)/(b)．
设a＞b＞0，证明：$\frac{a-b}{a}$＜ln$\frac{a}{b}$＜$\frac{a-b}{b}$．
题目解答
答案
证明：∵a＞b＞0，∴$\frac{a}{b}＞1$，
令$\frac{a}{b}$=x＞1，
则证明：$\frac{a-b}{a}$＜ln$\frac{a}{b}$＜$\frac{a-b}{b}$．即证明：1-$\frac{1}{x}$＜lnx＜x-1．
先证明右边：令f（x）=lnx-x+1，x∈（1，+∞）．
f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$＜0，
∴函数f（x）在x∈（1，+∞）单调递减，
∴f（x）＜f（1）=0，
∴lnx＜x-1成立．
再证明左边：令g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，x∈（1，+∞）．
g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$＞0，
∴函数g（x）在x∈（1，+∞）单调递增，
∴f（x）＞f（1）=0，
∴lnx＞1-$\frac{1}{x}$成立．
综上可得：1-$\frac{1}{x}$＜lnx＜x-1．
即$\frac{a-b}{a}$＜ln$\frac{a}{b}$＜$\frac{a-b}{b}$．
令$\frac{a}{b}$=x＞1，
则证明：$\frac{a-b}{a}$＜ln$\frac{a}{b}$＜$\frac{a-b}{b}$．即证明：1-$\frac{1}{x}$＜lnx＜x-1．
先证明右边：令f（x）=lnx-x+1，x∈（1，+∞）．
f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$＜0，
∴函数f（x）在x∈（1，+∞）单调递减，
∴f（x）＜f（1）=0，
∴lnx＜x-1成立．
再证明左边：令g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，x∈（1，+∞）．
g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$＞0，
∴函数g（x）在x∈（1，+∞）单调递增，
∴f（x）＞f（1）=0，
∴lnx＞1-$\frac{1}{x}$成立．
综上可得：1-$\frac{1}{x}$＜lnx＜x-1．
即$\frac{a-b}{a}$＜ln$\frac{a}{b}$＜$\frac{a-b}{b}$．