题目
设有齐次线性方程组 ) (x)_(1)-(x)_(2)+(x)_(3)=0 2(x)_(1)+(x)_(2)-3(x)_(3)=0 .，解的情况是____。A.唯一解B.无穷多解C.无解D.不确定
设有齐次线性方程组
，解的情况是____。
A.唯一解
B.无穷多解
C.无解
D.不确定
题目解答
答案
答案为：B。本题已知齐次线性方程组为，则系数矩阵为
，因为矩阵的秩等于其行秩等于其列秩，故该矩阵的秩一定小于等于2，本题未知量个数为3，故系数矩阵的秩小于未知量的个数。而对于齐次线性方程组，若方程组对应的系数矩阵的秩等于未知数的个数，则方程组有唯一解，反之有无穷多解。故本题有无穷多解，故答案为B。
解析
步骤 1：写出系数矩阵
齐次线性方程组$\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}-{x}_{2}+{x}_{3}=0\\ 2{x}_{1}+{x}_{2}-3{x}_{3}=0\end{matrix} \right.$的系数矩阵为$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}$。
步骤 2：计算系数矩阵的秩
系数矩阵的秩等于其行秩等于其列秩。通过观察或计算，可以发现该矩阵的秩为2，因为矩阵的两行线性无关。
步骤 3：比较秩与未知量个数
本题未知量个数为3，而系数矩阵的秩为2，小于未知量的个数。
步骤 4：判断解的情况
对于齐次线性方程组，若方程组对应的系数矩阵的秩等于未知数的个数，则方程组有唯一解，反之有无穷多解。因此，本题有无穷多解。
齐次线性方程组$\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}-{x}_{2}+{x}_{3}=0\\ 2{x}_{1}+{x}_{2}-3{x}_{3}=0\end{matrix} \right.$的系数矩阵为$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}$。
步骤 2：计算系数矩阵的秩
系数矩阵的秩等于其行秩等于其列秩。通过观察或计算，可以发现该矩阵的秩为2，因为矩阵的两行线性无关。
步骤 3：比较秩与未知量个数
本题未知量个数为3，而系数矩阵的秩为2，小于未知量的个数。
步骤 4：判断解的情况
对于齐次线性方程组，若方程组对应的系数矩阵的秩等于未知数的个数，则方程组有唯一解，反之有无穷多解。因此，本题有无穷多解。