题目
设可微函数满足, 且 .(I) 求 f(x, y) ;(II) 判断 f(x, y) 是否具有极值 。
设可微函数
满足
, 且 
.
(I) 求 f(x, y) ;
(II) 判断 f(x, y) 是否具有极值 。
题目解答
答案
(I) 求 f(x, y)
由题意，可得
对 
求积分，得到
其中 
是关于 y 的待定函数。
将上式对 y 求导，得到
将
与题目中给出的对比，可以得到 g'(y)=0，所以 g(y) 是一个常数。
由于题目中给出 ，所以
。
因此，
。
(II) 判断是否具有极值
首先，我们需要计算的一阶偏导数。由于
所以当
时，
。
接下来，我们需要计算 f(x, y) 的二阶偏导数。由于
所以当 时，
。
因此， 在 
处具有极小值。所以答案是：具有极值。
解析
步骤 1：求偏导数
由题意，可得
$\dfrac {\partial f}{\partial x}={e}^{x+{y}^{2}}(1+x+2y)$ , $\dfrac {\partial f}{\partial y}={e}^{x+{y}^{2}}(2+2xy+4{y}^{2})$
步骤 2：对 $\dfrac {\partial f}{\partial x}$ 求积分
对 $\dfrac {\partial f}{\partial x}$ 求积分，得到
$f(x,y)=\int {e}^{x+{y}^{2}}(1+x+2y)dx={e}^{x+{y}^{2}}(x+xy+{y}^{2})+g(y)$
其中 $g(y)$ 是关于 $y$ 的待定函数。
步骤 3：求 $g(y)$
将上式对 $y$ 求导，得到
$\dfrac {\partial f}{\partial y}={e}^{x+y}(2xy+4{y}^{2}+x)+g'(y)$
将 $\dfrac {\partial f}{\partial y}$ 与题目中给出的 $\dfrac {\partial f}{\partial y}$ 对比，可以得到 $g'(y)=0$，所以 $g(y)$ 是一个常数。
由于题目中给出 $0=({0}^{6}0)f$，所以 $g(y)=0$。
步骤 4：确定 $f(x,y)$
因此，$f(x,y)={e}^{x+{y}^{2}}(x+xy+{y}^{2})$。
【答案】
$f(x,y)={e}^{x+{y}^{2}}(x+xy+{y}^{2})$
(II) 判断 f(x,y) 是否具有极值
【解析】
步骤 1：计算一阶偏导数
首先，我们需要计算 $f(x,y)$ 的一阶偏导数。由于
$\dfrac {\partial f}{\partial x}={e}^{x+{y}^{2}}(1+x+2y)$ , $\dfrac {\partial f}{\partial y}={e}^{x+{y}^{2}}(2+2xy+4{y}^{2})$
所以当 $(x,y)=(0,0)$ 时，$\dfrac {\partial f}{\partial x}=\dfrac {\partial f}{\partial y}=0$。
步骤 2：计算二阶偏导数
接下来，我们需要计算 $f(x,y)$ 的二阶偏导数。由于
$\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}={e}^{x+{y}^{2}}(1+3y)$ , $\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}}={e}^{x+{y}^{2}}(4+6xy+8{y}^{2})$
所以当 $(x,y)=(0,0)$ 时，$\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}}=1$。
步骤 3：判断极值
因此，$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处具有极小值。
由题意，可得
$\dfrac {\partial f}{\partial x}={e}^{x+{y}^{2}}(1+x+2y)$ , $\dfrac {\partial f}{\partial y}={e}^{x+{y}^{2}}(2+2xy+4{y}^{2})$
步骤 2：对 $\dfrac {\partial f}{\partial x}$ 求积分
对 $\dfrac {\partial f}{\partial x}$ 求积分，得到
$f(x,y)=\int {e}^{x+{y}^{2}}(1+x+2y)dx={e}^{x+{y}^{2}}(x+xy+{y}^{2})+g(y)$
其中 $g(y)$ 是关于 $y$ 的待定函数。
步骤 3：求 $g(y)$
将上式对 $y$ 求导，得到
$\dfrac {\partial f}{\partial y}={e}^{x+y}(2xy+4{y}^{2}+x)+g'(y)$
将 $\dfrac {\partial f}{\partial y}$ 与题目中给出的 $\dfrac {\partial f}{\partial y}$ 对比，可以得到 $g'(y)=0$，所以 $g(y)$ 是一个常数。
由于题目中给出 $0=({0}^{6}0)f$，所以 $g(y)=0$。
步骤 4：确定 $f(x,y)$
因此，$f(x,y)={e}^{x+{y}^{2}}(x+xy+{y}^{2})$。
【答案】
$f(x,y)={e}^{x+{y}^{2}}(x+xy+{y}^{2})$
(II) 判断 f(x,y) 是否具有极值
【解析】
步骤 1：计算一阶偏导数
首先，我们需要计算 $f(x,y)$ 的一阶偏导数。由于
$\dfrac {\partial f}{\partial x}={e}^{x+{y}^{2}}(1+x+2y)$ , $\dfrac {\partial f}{\partial y}={e}^{x+{y}^{2}}(2+2xy+4{y}^{2})$
所以当 $(x,y)=(0,0)$ 时，$\dfrac {\partial f}{\partial x}=\dfrac {\partial f}{\partial y}=0$。
步骤 2：计算二阶偏导数
接下来，我们需要计算 $f(x,y)$ 的二阶偏导数。由于
$\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}={e}^{x+{y}^{2}}(1+3y)$ , $\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}}={e}^{x+{y}^{2}}(4+6xy+8{y}^{2})$
所以当 $(x,y)=(0,0)$ 时，$\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}=\dfrac {{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}}=1$。
步骤 3：判断极值
因此，$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处具有极小值。