题目
4. 设向量组 (alpha )_(1)=((0,1,1))^T, (alpha )_(2)=((1,0,1))^T (alpha )_(3)=((2,1,0))^T (alpha )_(4)=((1,1,1))^T-|||-(1)求向量组的秩;-|||-(2)求此向量组的一个极大无关组,并把其余向量用所求的极大无关组线性表
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造矩阵
构造一个矩阵，其列向量为给定的向量组 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$, ${\alpha }_{4}$。矩阵为：
$$
A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：化简矩阵
对矩阵 $A$ 进行行变换，化简为阶梯形矩阵。首先交换第一行和第二行，然后进行行变换：
$$
A \rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
$$
\rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
$$
$$
\rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & -3 & -1
\end{pmatrix}
$$
步骤 3：确定秩和极大无关组
从化简后的矩阵可以看出，矩阵的秩为3，因为有3个非零行。极大无关组由前3个列向量组成，即 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$。
步骤 4：线性表示 ${\alpha }_{4}$
根据化简后的矩阵，可以得到 ${\alpha }_{4}$ 用 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$ 的线性组合表示：
$$
{\alpha }_{4} = \frac{2}{3}{\alpha }_{1} + \frac{1}{3}{\alpha }_{2} + \frac{1}{3}{\alpha }_{3}
$$
构造一个矩阵，其列向量为给定的向量组 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$, ${\alpha }_{4}$。矩阵为：
$$
A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：化简矩阵
对矩阵 $A$ 进行行变换，化简为阶梯形矩阵。首先交换第一行和第二行，然后进行行变换：
$$
A \rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
$$
\rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
$$
$$
\rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & -3 & -1
\end{pmatrix}
$$
步骤 3：确定秩和极大无关组
从化简后的矩阵可以看出，矩阵的秩为3，因为有3个非零行。极大无关组由前3个列向量组成，即 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$。
步骤 4：线性表示 ${\alpha }_{4}$
根据化简后的矩阵，可以得到 ${\alpha }_{4}$ 用 ${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$ 的线性组合表示：
$$
{\alpha }_{4} = \frac{2}{3}{\alpha }_{1} + \frac{1}{3}{\alpha }_{2} + \frac{1}{3}{\alpha }_{3}
$$