设三阶方阵 A 的特征值为 -2, -1, 1，则下列矩阵中为可逆矩阵的是A. A-EB. A+EC. 2E-AD. 2E+A

本题考查方阵可逆的判定以及方阵特征值的性质。解题的关键思路是利用方阵可逆的充要条件是其行列式不为零，再结合方阵特征值与行列式的关系，通过求出各选项矩阵的特征值，进而判断其行列式是否为零。

步骤一：明确方阵特征值与行列式的关系

若$n$阶方阵$A$的特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$，则$\vert A\vert=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$。方阵$A$可逆的充要条件是$\vert A\vert\neq0$，也就是其所有特征值都不为$0$。

步骤二：求已知方阵$A$的特征多项式

已知三阶方阵$A$的特征值为$\lambda_1 = -2$，$\lambda_2 = -1$，$\lambda_3 = 1$，则$A$的特征多项式为$f(\lambda)=\vert\lambda E - A\vert=(\lambda + 2)(\lambda + 1)(\lambda - 1)$。

步骤三：分别求各选项矩阵的特征值

• 选项A：求$A - E$的特征值
  设$\mu$是$A - E$的特征值，$\lambda$是$A$的特征值，则$\mu=\lambda - 1$。
  将$A$的特征值$\lambda_1 = -2$，$\lambda_2 = -1$，$\lambda_3 = 1$分别代入$\mu=\lambda - 1$，可得$A - E$的特征值为：
  $\mu_1=-2 - 1=-3$，$\mu_2=-1 - 1=-2$，$\mu_3=1 - 1=0$。
  因为$A - E$有一个特征值为$0$，所以$\vert A - E\vert = 0$，$A - E$不可逆。
• 选项B：求$A + E$的特征值
  设$\mu$是$A + E$的特征值，$\lambda$是$A$的特征值，则$\mu=\lambda + 1$。
  将$A$的特征值$\lambda_1 = -2$，$\lambda_2 = -1$，$\lambda_3 = 1$分别代入$\mu=\lambda + 1$，可得$A + E$的特征值为：
  $\mu_1=-2 + 1=-1$，$\mu_2=-1 + 1=0$，$\mu_3=1 + 1=2$。
  因为$A + E$有一个特征值为$0$，所以$\vert A + E\vert = 0$，$A + E$不可逆。
• 选项C：求$2E - A$的特征值
  设$\mu$是$2E - A$的特征值，$\lambda$是$A$的特征值，则$\mu = 2 - \lambda$。
  将$A$的特征值$\lambda_1 = -2$，$\lambda_2 = -1$，$\lambda_3 = 1$分别代入$\mu = 2 - \lambda$，可得$2E - A$的特征值为：
  $\mu_1=2 - (-2)=4$，$\mu_2=2 - (-1)=3$，$\mu_3=2 - 1=1$。
  因为$2E - A$的所有特征值都不为$0$，所以$\vert 2E - A\vert = 4\times3\times1 = 12\neq0$，$2E - A$可逆。
• 选项D：求$2E + A$的特征值
  设$\mu$是$2E + A$的特征值，$\lambda$是$A$的特征值，则$\mu = 2 + \lambda$。
  将$A$的特征值$\lambda_1 = -2$，$\lambda_2 = -1$，$\lambda_3 = 1$分别代入$\mu = 2 + \lambda$，可得$2E + A$的特征值为：
  $\mu_1=2 + (-2)=0$，$\mu_2=2 + (-1)=1$，$\mu_3=2 + 1=3$。
  因为$2E + A$有一个特征值为$0$，所以$\vert 2E + A\vert = 0$，$2E + A$不可逆。