α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组AX=B的三个解向量,且r(A)=3,α1=(1,2,3,4)T,α2+α3=(0,1,2,3)T,c表示任意常数,则线性方程组AX=B的通解X=( )A. (1,2,3,4)T+c(1,1,1,1)TB. (1,2,3,4)T+c(0,1,2,3)TC. (1,2,3,4)T+c(2,3,4,5)TD. (1,2,3,4)T+c(3,4,5,6)T

考查要点：本题主要考查非齐次线性方程组通解的结构，涉及解的性质及基础解系的求解。

解题核心思路：

1. 非齐次方程的通解由特解与对应齐次方程的通解组成。
2. 齐次方程的基础解系个数由系数矩阵的秩决定：基础解系个数 = 未知数个数 - 矩阵的秩。
3. 利用已知解的线性组合构造齐次方程的解，进而确定通解形式。

破题关键点：

• 通过已知解的和（α₂ + α₃）与特解α₁的关系，构造齐次方程的解。
• 验证选项中齐次部分是否满足齐次方程的条件。

步骤1：确定齐次方程的基础解系

1. 非齐次方程的通解结构：
   通解 = 特解 + 齐次方程的通解。
2. 基础解系个数：
   系数矩阵A为4×4矩阵，r(A)=3，故基础解系含 4−3=1 个向量。
3. 构造齐次方程的解：
   已知α₂ + α₃ = (0,1,2,3)ᵀ，考虑向量 α₂ + α₃ − 2α₁：
   $\begin{aligned} \alpha₂ + α₃ − 2α₁ &= (0,1,2,3)ᵀ − 2(1,2,3,4)ᵀ \\ &= (-2,-3,-4,-5)ᵀ \end{aligned}$
   该向量满足齐次方程 A(α₂ + α₃ − 2α₁) = 0，因此是齐次方程的解。

步骤2：确定通解形式

1. 基础解系：
   将上述解向量调整符号，得 η = (2,3,4,5)ᵀ（与原向量线性相关）。
2. 通解表达式：
   通解为特解α₁ + cη，即：
   $X = (1,2,3,4)ᵀ + c(2,3,4,5)ᵀ$

步骤3：验证选项

• 选项C的齐次部分为(2,3,4,5)ᵀ，符合基础解系要求，且特解正确。