题目
4、已知向量组：a_(1)=(1,1,1)^T,a_(2)=(0,2,5)^T,a_(3)=(2,4,7)^T,（1）求该向量组的秩；（2）求该向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的向量用该极大无关组线性表示.
4、已知向量组：$a_{1}=(1,1,1)^{T},a_{2}=(0,2,5)^{T},a_{3}=(2,4,7)^{T},$（1）求该向量组的秩；（2）求该向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的向量用该极大无关组线性表示.
题目解答
答案
1. **求向量组的秩：**
将向量组写成矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 5 & 7 \end{pmatrix}$，进行初等行变换化为行阶梯形：
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\]
非零行数为2，故向量组的秩为2。
2. **求极大无关组：**
首非零元在第1、2列，对应向量 $a_1 = (1, 1, 1)^T$ 和 $a_2 = (0, 2, 5)^T$，构成极大无关组。
3. **线性表示非极大无关组向量：**
由行阶梯形，得 $a_3 = 2a_1 + a_2$。
**答案：**
1. 向量组的秩为2。
2. 极大无关组为 $a_1 = (1, 1, 1)^T$ 和 $a_2 = (0, 2, 5)^T$，且 $a_3 = 2a_1 + a_2$。
解析
步骤 1：求向量组的秩
将向量组写成矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 5 & 7 \end{pmatrix}$，进行初等行变换化为行阶梯形：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
非零行数为2，故向量组的秩为2。
步骤 2：求极大无关组
首非零元在第1、2列，对应向量 $a_1 = (1, 1, 1)^T$ 和 $a_2 = (0, 2, 5)^T$，构成极大无关组。
步骤 3：线性表示非极大无关组向量
由行阶梯形，得 $a_3 = 2a_1 + a_2$。
将向量组写成矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 5 & 7 \end{pmatrix}$，进行初等行变换化为行阶梯形：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
非零行数为2，故向量组的秩为2。
步骤 2：求极大无关组
首非零元在第1、2列，对应向量 $a_1 = (1, 1, 1)^T$ 和 $a_2 = (0, 2, 5)^T$，构成极大无关组。
步骤 3：线性表示非极大无关组向量
由行阶梯形，得 $a_3 = 2a_1 + a_2$。