题目
2.求下列不定积分:-|||-(9)int dfrac (1-x)(sqrt {9-4{x)^2}}dx;
题目解答
答案
解析
步骤 1：将被积函数分解为两个部分
将被积函数 $\dfrac {1-x}{\sqrt {9-4{x}^{2}}}$ 分解为 $\dfrac {1}{\sqrt {9-4{x}^{2}}}$ 和 $-\dfrac {x}{\sqrt {9-4{x}^{2}}}$，这样可以分别求解这两个部分的不定积分。
步骤 2：求解第一个部分的不定积分
对于 $\int \dfrac {1}{\sqrt {9-4{x}^{2}}}dx$，使用三角代换 $x = \dfrac{3}{2}\sin\theta$，则 $dx = \dfrac{3}{2}\cos\theta d\theta$，代入后得到 $\int \dfrac {1}{\sqrt {9-4{x}^{2}}}dx = \int \dfrac {1}{\sqrt {9-9\sin^2\theta}}\cdot\dfrac{3}{2}\cos\theta d\theta = \int \dfrac {1}{3\cos\theta}\cdot\dfrac{3}{2}\cos\theta d\theta = \int \dfrac {1}{2} d\theta = \dfrac {1}{2}\theta + C_1$。由于 $x = \dfrac{3}{2}\sin\theta$，所以 $\theta = \arcsin \dfrac {2x}{3}$，因此 $\int \dfrac {1}{\sqrt {9-4{x}^{2}}}dx = \dfrac {1}{2}\arcsin \dfrac {2x}{3} + C_1$。
步骤 3：求解第二个部分的不定积分
对于 $\int -\dfrac {x}{\sqrt {9-4{x}^{2}}}dx$，使用代换 $u = 9-4x^2$，则 $du = -8xdx$，代入后得到 $\int -\dfrac {x}{\sqrt {9-4{x}^{2}}}dx = \int \dfrac {1}{8}\cdot\dfrac {1}{\sqrt {u}}du = \dfrac {1}{8}\cdot2\sqrt {u} + C_2 = \dfrac {1}{4}\sqrt {9-4{x}^{2}} + C_2$。
步骤 4：合并两个部分的不定积分
将步骤 2 和步骤 3 的结果合并，得到 $\int \dfrac {1-x}{\sqrt {9-4{x}^{2}}}dx = \dfrac {1}{2}\arcsin \dfrac {2x}{3} + \dfrac {1}{4}\sqrt {9-4{x}^{2}} + C$，其中 $C = C_1 + C_2$。
将被积函数 $\dfrac {1-x}{\sqrt {9-4{x}^{2}}}$ 分解为 $\dfrac {1}{\sqrt {9-4{x}^{2}}}$ 和 $-\dfrac {x}{\sqrt {9-4{x}^{2}}}$，这样可以分别求解这两个部分的不定积分。
步骤 2：求解第一个部分的不定积分
对于 $\int \dfrac {1}{\sqrt {9-4{x}^{2}}}dx$，使用三角代换 $x = \dfrac{3}{2}\sin\theta$，则 $dx = \dfrac{3}{2}\cos\theta d\theta$，代入后得到 $\int \dfrac {1}{\sqrt {9-4{x}^{2}}}dx = \int \dfrac {1}{\sqrt {9-9\sin^2\theta}}\cdot\dfrac{3}{2}\cos\theta d\theta = \int \dfrac {1}{3\cos\theta}\cdot\dfrac{3}{2}\cos\theta d\theta = \int \dfrac {1}{2} d\theta = \dfrac {1}{2}\theta + C_1$。由于 $x = \dfrac{3}{2}\sin\theta$，所以 $\theta = \arcsin \dfrac {2x}{3}$，因此 $\int \dfrac {1}{\sqrt {9-4{x}^{2}}}dx = \dfrac {1}{2}\arcsin \dfrac {2x}{3} + C_1$。
步骤 3：求解第二个部分的不定积分
对于 $\int -\dfrac {x}{\sqrt {9-4{x}^{2}}}dx$，使用代换 $u = 9-4x^2$，则 $du = -8xdx$，代入后得到 $\int -\dfrac {x}{\sqrt {9-4{x}^{2}}}dx = \int \dfrac {1}{8}\cdot\dfrac {1}{\sqrt {u}}du = \dfrac {1}{8}\cdot2\sqrt {u} + C_2 = \dfrac {1}{4}\sqrt {9-4{x}^{2}} + C_2$。
步骤 4：合并两个部分的不定积分
将步骤 2 和步骤 3 的结果合并，得到 $\int \dfrac {1-x}{\sqrt {9-4{x}^{2}}}dx = \dfrac {1}{2}\arcsin \dfrac {2x}{3} + \dfrac {1}{4}\sqrt {9-4{x}^{2}} + C$，其中 $C = C_1 + C_2$。