求曲线=dfrac (3{x)^2-2x+1}({x)^2+2}在点=dfrac (3{x)^2-2x+1}({x)^2+2}处的切线方程和法线方程.

考查要点：本题主要考查分式函数在某点处的导数计算，以及利用导数求切线方程和法线方程的方法。

解题核心思路：

1. 求导：使用商的导数法则对分式函数求导，得到斜率表达式。
2. 代入求值：将点的横坐标代入导数表达式，计算切线的斜率。
3. 方程构造：利用点斜式方程分别写出切线方程和法线方程（法线斜率为切线斜率的负倒数）。

破题关键点：

• 正确应用商法则：分子和分母的导数需分别计算，注意符号处理。
• 代数运算准确性：分子展开时需仔细处理符号，避免计算错误。

1. 求导数

函数为 $y = \dfrac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2}$，根据商的导数法则：
$y' = \dfrac{(6x - 2)(x^2 + 2) - (3x^2 - 2x + 1)(2x)}{(x^2 + 2)^2}$

2. 代入 $x = -1$ 计算斜率

将 $x = -1$ 代入导数表达式：

• 分子部分：
  • 第一项：$(6(-1) - 2)( (-1)^2 + 2 ) = (-8)(3) = -24$
  • 第二项：$(3(-1)^2 - 2(-1) + 1)(2(-1)) = (6)(-2) = -12$
  • 分子总和：$-24 - (-12) = -12$
• 分母部分：$( (-1)^2 + 2 )^2 = 3^2 = 9$
• 斜率：$k = \dfrac{-12}{9} = -\dfrac{4}{3}$

3. 构造切线方程

切线方程为：
$y - 2 = -\dfrac{4}{3}(x + 1)$
整理为标准形式：
$4x + 3y - 2 = 0$

4. 构造法线方程

法线斜率为 $k_{\text{法}} = \dfrac{3}{4}$，方程为：
$y - 2 = \dfrac{3}{4}(x + 1)$
整理为标准形式：
$3x - 4y + 11 = 0$