求过点(1,1,1)且与直线(1,1,1)垂直,又与平面(1,1,1)平行的直线方程

步骤 1：确定直线l的方向向量
直线l的方程为$\dfrac {x-2}{1}=\dfrac {y-3}{2}=\dfrac {z-5}{3}$，因此直线l的方向向量为$\vec{d_1}=(1,2,3)$。

步骤 2：确定平面$\pi$的法向量
平面$\pi$的方程为$2x-z-5=0$，因此平面$\pi$的法向量为$\vec{n}=(2,0,-1)$。

步骤 3：求所求直线的方向向量
所求直线的方向向量$\vec{d}$应与直线l的方向向量$\vec{d_1}$垂直，同时与平面$\pi$的法向量$\vec{n}$平行。因此，$\vec{d}$应为$\vec{d_1}$和$\vec{n}$的叉乘结果。
$$\vec{d}=\vec{d_1}\times\vec{n}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (-2,7,-4)$$

步骤 4：写出所求直线的方程
所求直线过点(1,1,1)，方向向量为(-2,7,-4)，因此直线方程为$\dfrac {x-1}{-2}=\dfrac {y-1}{7}=\dfrac {z-1}{-4}$。