当 gt 0 时,曲线 =xsin dfrac (1)(x) ()-|||-A.有且仅有水平渐近线-|||-B.有且仅有铅直渐近线-|||-C.既有水平渐近线,又有铅直渐近线-|||-D.既无水平渐近线,又无铅直渐近线

考查要点：本题主要考查函数渐近线的判断，包括水平渐近线和铅直渐近线的存在性。

解题核心思路：

1. 水平渐近线：当$x \to +\infty$时，分析函数$y = x \sin \dfrac{1}{x}$的极限是否存在。
2. 铅直渐近线：当$x \to 0^+$时，分析函数是否趋向于无穷大或负无穷大。

破题关键点：

• 水平渐近线：利用$\sin \theta \approx \theta$（当$\theta \to 0$）简化表达式，判断极限值。
• 铅直渐近线：分析$x \to 0^+$时，$\sin \dfrac{1}{x}$的有界性与$x$的趋近性，判断极限是否存在。

水平渐近线分析

当$x \to +\infty$时，$\dfrac{1}{x} \to 0$，此时$\sin \dfrac{1}{x} \approx \dfrac{1}{x}$。因此：
$y = x \sin \dfrac{1}{x} \approx x \cdot \dfrac{1}{x} = 1.$
极限值为1，故水平渐近线为$y = 1$。

铅直渐近线分析

当$x \to 0^+$时，$\dfrac{1}{x} \to +\infty$，$\sin \dfrac{1}{x}$在$[-1, 1]$之间振荡。但由于$x \to 0$，乘积$x \sin \dfrac{1}{x}$的绝对值满足：
$|x \sin \dfrac{1}{x}| \leq x \cdot 1 = x \to 0.$
极限值为0，因此$x = 0$不是铅直渐近线。