题目
设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在区间(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密-|||-度为-|||-(y)= {e)^-y/2,ygt 0 0, yleqslant 0+2xa+Y=0, 试求a有实根的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求X和Y的联合概率密度
由于X和Y是两个相互独立的随机变量，X在区间(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为 ${f}_{Y}(y)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2}{e}^{-y/2},y\gt 0\\ 0,y\leqslant 0.\end{matrix} \right.$
因此，X的概率密度为 ${f}_{X}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} 1,0\lt x\lt 1\\ 0,其他.\end{matrix} \right.$
由于X和Y相互独立，所以X和Y的联合概率密度为 ${f}_{X,Y}(x,y)={f}_{X}(x){f}_{Y}(y)$
步骤 2：求a有实根的概率
含有a的二次方程为 ${a}^{2}+2Xa+Y=0$，要使a有实根，需要满足判别式 $\Delta =4X^{2}-4Y\geqslant 0$，即 $X^{2}\geqslant Y$。
因此，a有实根的概率为 $P(X^{2}\geqslant Y)$。
由于X和Y是两个相互独立的随机变量，X在区间(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为 ${f}_{Y}(y)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2}{e}^{-y/2},y\gt 0\\ 0,y\leqslant 0.\end{matrix} \right.$
因此，X的概率密度为 ${f}_{X}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} 1,0\lt x\lt 1\\ 0,其他.\end{matrix} \right.$
由于X和Y相互独立，所以X和Y的联合概率密度为 ${f}_{X,Y}(x,y)={f}_{X}(x){f}_{Y}(y)$
步骤 2：求a有实根的概率
含有a的二次方程为 ${a}^{2}+2Xa+Y=0$，要使a有实根，需要满足判别式 $\Delta =4X^{2}-4Y\geqslant 0$，即 $X^{2}\geqslant Y$。
因此，a有实根的概率为 $P(X^{2}\geqslant Y)$。