3.(单选题)在下列构成5阶行列式展开式的各项中,取“-”的为()。A. a_(15)a_(23)a_(32)a_(44)a_(51)B. a_(11)a_(25)a_(32)a_(44)a_(53)C. a_(21)a_(53)a_(15)a_(42)a_(34)D. a_(51)a_(32)a_(13)a_(44)a_(25)

本题考查知识点为$n$阶行列式展开式中项的符号的确定。解题思路是根据$n$阶行列式展开式中每一项的符号由列标排列的逆序数的奇偶性来决定，若逆序数为偶数，则该项取正号；若逆序数为奇数，则该项取负号。具体步骤为：先将每一项的元素按行标自然顺序排列，再计算列标排列的逆序数，最后根据逆序数的奇偶性判断该项的符号。

选项A

对于$a_{15}a_{23}a_{32}a_{44}a_{51}$，其列标排列为$53241$。
计算逆序数$\tau(53241)$：

• 从$5$开始，$5$后面比$5$小的数有$4$个（$3,2,4,1$）；
• $3$后面比$3$小的数有$2$个（$2,1$）；
• $2$后面比$2$小的数有$1$个（$1$）；
• $4$后面比$4$小的数有$1$个（$1$）；
• $1$后面没有比$1$小的数。
  所以$\tau(53241)=4 + 2 + 1 + 1 = 8$，$8$是偶数，该项取正号。

选项B

对于$a_{11}a_{25}a_{32}a_{44}a_{53}$，其列标排列为$15243$。
计算逆序数$\tau(15243)$：

• $1$后面没有比$1$小的数；
• $5$后面比$5$小的数有$3$个（$2,4,3$）；
• $2$后面没有比$2$小的数；
• $4$后面比$4$小的数有$1$个（$3$）；
• $3$后面没有比$3$小的数。
  所以$\tau(15243)=3 + 1 = 4$，$4$是偶数，该项取正号。

选项C

对于$a_{21}a_{53}a_{15}a_{42}a_{34}$，先将其按行标自然顺序排列为$a_{15}a_{21}a_{34}a_{42}a_{53}$，此时列标排列为$51423$。
计算逆序数$\tau(51423)$：

• $5$后面比$5$小的数有$4$个（$1,4,2,3$）；
• $1$后面没有比$1$小的数；
• $4$后面比$4$小的数有$2$个（$2,3$）；
• $2$后面没有比$2$小的数；
• $3$后面没有比$3$小的数。
  所以$\tau(51423)=4 + 2 = 6$，$6$是偶数，该项取正号。

选项D

对于$a_{51}a_{32}a_{13}a_{44}a_{25}$，先将其按行标自然顺序排列为$a_{13}a_{25}a_{32}a_{44}a_{51}$，此时列标排列为$35241$。
计算逆序数$\tau(35241)$：

• $3$后面比$3$小的数有$2$个（$2,1$）；
• $5$后面比$5$小的数有$4$个（$2,4,1$）；
• $2$后面比$2$小的数有$1$个（$1$）；
• $4$后面比$4$小的数有$1$个（$1$）；
• $1$后面没有比$1$小的数。
  所以$\tau(35241)=2 + 4 + 1 + 1 = 8$，$8$是偶数，该项取正号。