[题目]12名新生中有3名优秀生,将他们随机地-|||-平均分配到3个班中去,-|||-(1)每班各分配到一名优秀生的概率;-|||-(2)3名优秀生分配到同一个班的概率.

考查要点：本题主要考查排列组合在概率问题中的应用，特别是涉及分组分配问题时的处理方法。需要明确基本事件总数和目标事件数的计算方式。

解题核心思路：

1. 基本事件总数：将12人平均分配到3个班的总方式数，需注意班级是有区别的，因此直接使用组合数相乘。
2. 目标事件数：
   • 第（1）问：3名优秀生分别在不同班级，需先分配优秀生到各班，再分配普通学生。
   • 第（2）问：3名优秀生集中在同一班级，需固定优秀生在某一班，再分配剩余学生。

破题关键点：

• 分步计算：将分配过程拆解为优秀生分配和普通生分配两部分。
• 组合数的正确应用：注意分组时是否需要考虑顺序，避免重复或遗漏。

第（1）题

步骤1：计算基本事件总数

将12人平均分配到3个班的方式数为：
$n = C_{12}^4 \times C_8^4 \times C_4^4 = 34650$

步骤2：计算目标事件数

1. 分配优秀生：将3名优秀生分配到3个班，每班1人，有 $3! = 6$ 种方式。
2. 分配普通生：剩余9名普通生需补充到各班，每班再分配3人：
   $C_9^3 \times C_6^3 \times C_3^3 = 84 \times 20 \times 1 = 1680$
3. 总目标事件数：
   $m = 3! \times C_9^3 \times C_6^3 \times C_3^3 = 6 \times 1680 = 10080$

步骤3：计算概率

$p = \frac{m}{n} = \frac{10080}{34650} = \frac{16}{55}$

第（2）题

步骤1：计算目标事件数

1. 选择班级：3名优秀生集中在某一班，有3种选择。
2. 分配优秀生所在班：该班需再选1名普通生，方式数为 $C_9^1 = 9$。
3. 分配剩余学生：剩余8名普通生分配到另两个班，每班4人：
   $C_8^4 \times C_4^4 = 70 \times 1 = 70$
4. 总目标事件数：
   $m' = 3 \times C_9^1 \times C_8^4 \times C_4^4 = 3 \times 9 \times 70 = 1890$

步骤2：计算概率

$p' = \frac{m'}{n} = \frac{1890}{34650} = \frac{3}{55}$