(19)lim_(xto+infty)(x+sqrt(1+x^2))^(1)/(x);

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是处理形如“$\infty^0$”未定式的方法，以及洛必达法则的应用。

解题核心思路：

1. 取对数将原式转化为指数形式，简化计算。
2. 洛必达法则处理分子分母均为无穷大的情况。
3. 通过求导后的极限，结合自然指数函数的性质得出结果。

破题关键点：

• 识别极限形式为“$\infty^0$”，需取对数转化为“$e^{\lim}$”形式。
• 正确应用洛必达法则对分子$\ln(x+\sqrt{1+x^2})$和分母$x$求导。
• 简化导数表达式后，判断极限值为$0$，最终结果为$e^0=1$。

设$y = (x + \sqrt{1 + x^2})^{\frac{1}{x}}$，取对数得：
$\ln y = \frac{\ln(x + \sqrt{1 + x^2})}{x}$

当$x \to +\infty$时，分子$\ln(x + \sqrt{1 + x^2})$和分母$x$均趋近于$+\infty$，满足洛必达法则的条件。对分子分母分别求导：

• 分子导数：
  $\frac{d}{dx} \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right)$
• 分母导数：
  $\frac{d}{dx} x = 1$

应用洛必达法则后，极限变为：
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right)}{1}$

简化表达式：
当$x \to +\infty$时，$\sqrt{1 + x^2} \approx x$，因此：
$x + \sqrt{1 + x^2} \approx 2x, \quad \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \approx 1$
代入后分子导数近似为：
$\frac{1}{2x} \cdot (1 + 1) = \frac{1}{x}$
故极限为：
$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$

因此，$\ln y \to 0$，原式极限为：
$\lim_{x \to +\infty} y = e^0 = 1$