(8) (int )_(1)^4dfrac (ln x)(sqrt {x)}dx

考查要点：本题主要考查定积分的计算方法，特别是分部积分法和变量替换法的应用。关键在于选择合适的积分策略简化被积函数。

解题核心思路：

1. 分部积分法：通过合理选择分部积分中的$u$和$dv$，将原积分转化为更易计算的形式。
2. 变量替换法：通过令$t = \sqrt{x}$，将积分转化为关于$t$的简单积分，避免复杂的分部操作。

破题关键点：

• 分部积分法中，选择$u = \ln x$，$dv = \frac{1}{\sqrt{x}} dx$，可简化计算。
• 变量替换法中，通过$t = \sqrt{x}$，将积分区间和被积函数转化为关于$t$的线性形式。

解法1：分部积分法

步骤1：选择分部积分变量

设$u = \ln x$，则$du = \frac{1}{x} dx$；
设$dv = \frac{1}{\sqrt{x}} dx$，则$v = 2\sqrt{x}$。

步骤2：应用分部积分公式

$\begin{aligned}\int_{1}^{4} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx &= \left[ 2\sqrt{x} \cdot \ln x \right]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} 2\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} dx \\&= \left[ 2\sqrt{x} \ln x \right]_{1}^{4} - 2 \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} dx\end{aligned}$

步骤3：计算边界项和剩余积分

1. 边界项：
   $\left[ 2\sqrt{x} \ln x \right]_{1}^{4} = 2 \cdot 2 \cdot \ln 4 - 2 \cdot 1 \cdot \ln 1 = 4 \ln 4 \quad (\because \ln 1 = 0)$
2. 剩余积分：
   $\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} \Big|_{1}^{4} = 2(2 - 1) = 2$

步骤4：合并结果

$\int_{1}^{4} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx = 4 \ln 4 - 2 \cdot 2 = 4 \ln 4 - 4 = 4(2 \ln 2 - 1)$

解法2：变量替换法

步骤1：令$t = \sqrt{x}$，则$x = t^2$，$dx = 2t dt$

当$x = 1$时，$t = 1$；当$x = 4$时，$t = 2$。

步骤2：代入积分式

$\begin{aligned}\int_{1}^{4} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx &= \int_{1}^{2} \frac{\ln (t^2)}{t} \cdot 2t \cdot 2t dt \\&= 4 \int_{1}^{2} \ln t^2 dt \\&= 8 \int_{1}^{2} \ln t dt\end{aligned}$

步骤3：计算积分$\int \ln t dt$

分部积分：设$u = \ln t$，$dv = dt$，则$du = \frac{1}{t} dt$，$v = t$：
$\int \ln t dt = t \ln t - \int 1 dt = t \ln t - t + C$

步骤4：代入上下限并化简

$8 \left[ t \ln t - t \right]_{1}^{2} = 8 \left[ (2 \ln 2 - 2) - (1 \ln 1 - 1) \right] = 8(2 \ln 2 - 2 + 1) = 8(2 \ln 2 - 1)$

步骤5：最终结果

$\int_{1}^{4} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx = 8(2 \ln 2 - 1) = 4(2 \ln 2 - 1)$