设函数(x)=(3)^dfrac (1{x-1)},则x=1是f(x)的(). A第一类间断点.B第二类间断点

考查要点：本题主要考查函数间断点的分类，特别是对第一类间断点和第二类间断点的理解与判断。

解题核心思路：

1. 判断间断点类型的关键在于分析函数在该点处的左右极限是否存在且相等。
2. 第一类间断点要求左右极限存在且相等，但函数值不存在或不等于极限值；第二类间断点则至少有一个单侧极限不存在（包括趋向于无穷大）。
3. 本题中，需分别计算$x \to 1^+$和$x \to 1^-$时$f(x)$的极限，通过指数函数的性质分析极限结果。

破题关键点：

• 指数部分$\dfrac{1}{x-1}$的符号变化：当$x$从右侧趋近1时，分母$x-1$为正，指数趋向$+\infty$；当$x$从左侧趋近1时，分母$x-1$为负，指数趋向$-\infty$。
• 指数函数$3^t$的单调性：当$t \to +\infty$时，$3^t \to +\infty$；当$t \to -\infty$时，$3^t \to 0$。
• 极限是否存在：右极限趋向$+\infty$（极限不存在），左极限为0，因此左右极限不相等且右极限不存在，属于第二类间断点。

步骤1：分析函数在$x=1$处的定义
函数$f(x) = 3^{\dfrac{1}{x-1}}$在$x=1$处无定义，因此$x=1$是间断点。

步骤2：计算右极限$\lim\limits_{x \to 1^+} f(x)$
当$x \to 1^+$时，$x-1 \to 0^+$，因此$\dfrac{1}{x-1} \to +\infty$。
此时，$3^{\dfrac{1}{x-1}} \to 3^{+\infty} = +\infty$，即右极限不存在（趋向于无穷大）。

步骤3：计算左极限$\lim\limits_{x \to 1^-} f(x)$
当$x \to 1^-$时，$x-1 \to 0^-$，因此$\dfrac{1}{x-1} \to -\infty$。
此时，$3^{\dfrac{1}{x-1}} \to 3^{-\infty} = 0$，即左极限为0。

步骤4：判断间断点类型

• 右极限不存在（趋向于无穷大），左极限存在且为0。
• 根据定义，当至少有一个单侧极限不存在或不相等时，间断点为第二类间断点。