题目
29 [判断题] 若φ(x)为毕卡逼近序列(φn(x))的极限，则有|φ(x)-φn(x)|≤____答：(ML^n)/((n+1)!)h^n+1A 对B 错
29 [判断题] 若φ(x)为毕卡逼近序列{φn(x)}的极限，则有|φ(x)-φn(x)|≤____
答：$\frac{ML^{n}}{(n+1)!}h^{n+1}$
A 对
B 错
题目解答
答案
毕卡逼近序列 $\{\varphi_n(x)\}$ 的误差界为：
\[
|\varphi(x) - \varphi_n(x)| \leq \frac{M}{L} \frac{(L|x - x_0|)^{n+1}}{(n+1)!},
\]
其中 $M = \max_{(x, y) \in R} |f(x, y)|$，$L$ 为李普希茨常数，$x_0$ 为初始点。令 $h = |x - x_0|$，则：
\[
|\varphi(x) - \varphi_n(x)| \leq \frac{M L^n}{(n+1)!} h^{n+1}.
\]
与题目中给定的表达式一致，故答案为：
\[
\boxed{A}
\]
解析
考查要点：本题主要考查毕卡逼近法（逐次逼近法）的误差估计公式，涉及微分方程数值解的基本理论。
解题核心思路：
- 毕卡逼近法通过迭代生成逼近序列$\{\varphi_n(x)\}$，其误差与李普希茨常数$L$、初始区间长度$h$及迭代次数$n$相关。
- 误差公式的关键形式为：误差项与$(Lh)^{n+1}$成正比，且分母为$(n+1)!$，分子包含$f(x,y)$的最大模$M$。
- 题目中的表达式需与标准误差公式对比，验证其形式是否一致。
破题关键点：
- 明确误差公式中$L$的指数为$n$，而非$n+1$。
- 确认$h^{n+1}$与$(n+1)!$的对应关系，排除混淆项。
毕卡逼近法的误差估计公式为：
$|\varphi(x) - \varphi_n(x)| \leq \frac{M}{L} \cdot \frac{(Lh)^{n+1}}{(n+1)!},$
其中：
- $M = \max_{(x,y) \in R} |f(x,y)|$，为$f(x,y)$在区域$R$上的最大模，
- $L$为$f(x,y)$关于$y$的李普希茨常数，
- $h = |x - x_0|$为积分区间长度。
化简公式：
将$\frac{M}{L} \cdot (Lh)^{n+1}$展开，得到：
$\frac{M}{L} \cdot L^{n+1} h^{n+1} = M L^n h^{n+1}.$
因此，误差公式可进一步表示为：
$|\varphi(x) - \varphi_n(x)| \leq \frac{M L^n}{(n+1)!} h^{n+1}.$
结论：题目中给出的表达式与标准误差公式完全一致，故答案为A 对。